نمونه سوالات امتحانی آزمون هماهنگ استانها -بخش عبارت های گویا
در این نمونه سوالات که از آزمونهای هماهنگ سال 95 انتخاب شده است ، 8 نمونه سوال مربوط به بخش ساده کردن عبارت های گویا ، جمع و تفریق و ضرب و تقسیم عبارت های گویا می باشد
1-الف) عبارت زیر به ازای چه مقداری از x تعریف نشده است ؟ (آزمون هماهنگ –خرداد 1395)
[math] \frac{{5x + 1}}{{x + 3}}[/math]
به ازای مقادیری که مخرج را صفر می کنند عبارت ما تعریف نشده است. یعنی باید ریشه مخرج را بدست اوریم پس :
[math] x + 3 = 0 \Rightarrow x = – 3[/math]
در واقع اگر به جای x عدد منفی 3 قرار دهیم مخرج کسر صفر می شود و این تعریف نشده است .
ب)حاصل عبارت های زیر را به ساده ترین شکل ممکن بنویسید .
[math] 1)\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x + 2}} \times \frac{{x + 5}}{{x + 1}}[/math]
قبل از اینکه عمل ضرب را انجام بدیم باید ببینیم آیا کسر ما قابل ساده شدن هست خوب صورت کسر اول را می توان با اتحاد جمله مشترک ساده کرد:
[math] {x^2} + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)[/math]
پس عبارت ما بصورت زیر خواهد شد :
[math]\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x + 2}} \times \frac{{x + 5}}{{x + 1}} \Rightarrow \frac{{(x + 1)(x + 2)}}{{(x + 2)}} \times \frac{{x + 5}}{{(x + 1)}} \\[/math]
حالا عوامل مشترک را از صورت و مخرج باید ساده کنیم :
عبارت های مشترک که قابل حذف شدن هستند در عبارت بالا بصورت همرنگ نشان داده شده اند.
[math] 2)\frac{1}{{x – 2}} + \frac{3}{{x + 2}}[/math]
در این مثال ما باید مخرج مشترک بگیریم
ضرب مخرجها اتحاد مزدوج می شود | [math] (x – 2) \times (x + 2) = {x^2} – 4[/math] |
[math]\frac{1}{{x – 2}} + \frac{3}{{x + 2}} \Rightarrow \frac{{1 \times (x + 2)}}{{{x^2} – 4}} + \frac{{3 \times (x – 2)}}{{{x^2} – 4}} = \frac{{x + 2 + 3x – 6}}{{{x^2} – 4}} \\\\= \frac{{4x – 4}}{{{x^2} – 4}} \\[/math]
2- نوبت دوم (خرداد ۹۵) استان البرز (صبح)
الف)حاصل عبارت مقابل را بدست آورید.
[math] \frac{{{a^2} + 5a + 6}}{{a – 1}} \div \frac{{a + 3}}{{a – 1}} \\ [/math]
ابتدا با استفاده از اتحاد جمله مشترک صورت یکی از کسرها را بصورت زیر تجزیه می کنیم :
[math] {a^2} + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3) \\ [/math]
از طرف دیگر می دانیم که همیشه باید تقسیم را به ضرب تبدیل کنیم پس داریم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{a^2} + 5a + 6}}{{a – 1}} \div \frac{{a + 3}}{{a – 1}} \\\\{a^2} + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3) \\\end{array} \right\} \to \frac{{(a + 2)(a + 3)}}{{a – 1}} \times \frac{{a – 1}}{{a + 3}} \\[/math]
الان وقتشه که عامل های مشترک را حذف کنیم ، یادتون باشه که در ضرب عبارت های گویا اگر امکان ساده کردن بود ابتدا ساده می کنیم و بعد عمل ضرب را انجام می دهیم در زیر من عامل های مشترک را همرنگ کرده ام که باید حذف شوند:
ب)دو عبارت گویا بنویسید که حاصل جمع آن [math] \frac{{a – 3}}{{a + 5}} [/math] شود.
[math] \frac{{a – 3}}{{a + 5}} = \frac{a}{{a + 5}} – \frac{3}{{a + 5}} [/math]
3-حاصل عبارت زیر را بدست آورید. نوبت دوم (خرداد ۹۵) استان البرز (عصر)
[math] \frac{x}{{x + 1}} + \frac{1}{x} [/math]
در این مثال مشخص است که باید مخرج مشترک بصورت ضرب مخرج ها حساب کنیم پس داریم :
[math]\frac{x}{{x + 1}} + \frac{1}{x} = \frac{{x \times x}}{{x(x + 1)}} + \frac{{1 \times (x + 1)}}{{x(x + 1)}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x}} \\[/math]
4- حاصل عبارت های مقابل را به ساده ترین صورت ممکن بنویسید (نوبت دوم (خرداد ۹۵) سیستان و بلوچستان
[math] 1)\frac{{3x – 4}}{{5 – x}} – \frac{{5x – 2}}{{x – 5}} \\ [/math]
دقت کنید که کسرهای بالا مخرج آنها یکسان است ، فقط قرینه هم هستن که باید با دقت و تمرکز آن را تشخیص دهید .خوب با اندکی دقت و توجه می فهمیم که اگر یکی از مخرج ها را کمی تغییر دهیم درواقع در منفی ضرب کنیم یا از منفی ان فاکتور بگیریم کسرها هم مخرج می شوند در اینجا ما از کسر اول یه منفی از مخرجش فاکتور می کیریم ، این منفی در صورت کسر ضرب خواهد شد :
[math]\frac{{3x – 4}}{{5 – x}} – \frac{{5x – 2}}{{x – 5}} = \frac{{ – (3x – 4)}}{{x – 5}} – \frac{{5x – 2}}{{x – 5}} = \frac{{ – 3x + 4}}{{x – 5}} – \frac{{5x – 2}}{{x – 5}} \\\\\frac{{ – 3x + 4 – 5x + 2}}{{x – 5}} = \frac{{ – 8x + 6}}{{x – 5}} \\[/math]
[math]2)\frac{{24{x^2}}}{{12{x^2} – 6x}}[/math]
کسر بالا را باید ساده کنیم:
5-حاصل عبارت های زیر را بدست آورید و نتیجه را ساده کنید: نوبت دوم (خرداد ۹۵) خراسان رضوی
[math] 1)\frac{{ – 3x}}{{{x^2} – 4}} + \frac{2}{{x + 2}} [/math]
اینجا ما برای هم مخرج کردن می توانیم از ب.م.م گرفتن استفاده کنیم :
[math]\frac{{ – 3x}}{{(x + 2)(x – 2)}} + \frac{2}{{x + 2}} = \frac{{ – 3x}}{{(x + 2)(x – 2)}} + \frac{{2(x – 2)}}{{(x + 2)(x – 2)}} \\\\= \frac{{ – 3x + 2x – 4}}{{(x + 2)(x – 2)}} = \frac{{ – x – 4}}{{(x + 2)(x – 2)}} \\[/math]
6-نوبت دوم (خرداد ۹۵) فارس
الف)عبارت گویای مقابل به ازای چه مقداری از x تعریف نشده است ؟
[math] \frac{{{x^2} + 12}}{{x – 3}} \\ [/math]
ریشه مخرج را بدست می آوریم:
[math] x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \\ [/math]
ب)عبارت گویای مقابل را ساده کنید.
[math] \frac{{{a^2} + 7a + 6}}{{{a^2} – 36}} [/math]
صورت کسر با استفاده از اتحاد جمله مشترک تجزیه می شود.
[math] {a^2} + 7a + 6 = (a + 1)(a + 6) [/math]
مخرج کسر با استفاده از اتحاد مزدوج تجزیه می شود.
[math] {a^2} – 36 = (a – 6)(a + 6) [/math]
اکنون صورت و مخرج را بصورت زیر ساده می کنیم:
7-صورت و مخرج را تجزیه کرده سپس حاصل عبارات را ساده کنید. نوبت دوم (خرداد ۹۵) همدان
[math] \frac{{{x^2} – 1}}{x} \times \frac{{{x^2}}}{{1 – 2x + {x^2}}}[/math]
ابتدا مرتب می کنیم و سپس عوامل مشترک را ساده می کنیم.
[math]\frac{{{x^2} – 1}}{x} \times \frac{{{x^2}}}{{1 – 2x + {x^2}}} = \frac{{{x^2} – 1}}{x} \times \frac{{{x^2}}}{{{x^2} – 2x + 1}} \\\\\frac{{(x – 1)(x + 1)}}{x} \times \frac{{{x^2}}}{{{{(x + 1)}^2}}} \\[/math]
عاملهای مشترک را حذف می کنیم و سپس ضرب می کنیم
[math]\frac{{(x – 1)(x + 1)}}{x} \times \frac{{{x^2}}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{x – 1}}{1} \times \frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x(x – 1)}}{{x + 1}} \\[/math]
8-نوبت دوم (خرداد ۹۵) آذربایجان غربی
الف)عبارت جبری زیر به ازای چه مقادیری از x تعریف نشده است .
[math]\frac{{7{x^2} + 1}}{{(x – 1)(x + 2)}} \\[/math]
باید ریشه های مخرج یعنی عوامل صفر کننده مخرج را بدست آوریم .
[math](x – 1)(x + 2) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x – 1 = 0 \to x = 1 \\x + 2 = 0 \to x = – 2 \\\end{array} \right\} \\[/math]
ب)حاصل عبارت روبرو را ساده کنید.
[math]\frac{{5{x^2} – 25x}}{{{x^2} – 7x + 10}} \times \frac{{{x^2} – 4}}{{15{x^2}}} \\[/math]
جواب :
[math]5{x^2} – 25x = 5x(x – 5) \\{x^2} – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5) \\{x^2} – 4 = (x – 2)(x + 2) \\15{x^2} = 5x.3x \\[/math]
عبارت های بالا را جایگزاری می کنیم و سپس ساده می کنیم.