تمرینات حل شده الگو و دنباله
1-برای الگوی زیر ، یک مدل ریاضی ارائه دهید و شکل دهم این الگو چند مربع دارد ؟
1)20 2)10 3)12 4)19
پاسخ :
همانطور که در شکل می بینید ، شکل اول ، یک مربع دارد و شکل دوم ، دارای 2 مربع و شکل سوم دارای 5 مربع و شکل چهارم هم دارای 7 مربع است:
[math]1) \to 1 \\2) \to 3 = 2 + 1 = 4 – 1 = 2 \times 2 – 1 \\3) \to 5 = 2 + 3 = 6 – 1 = 3 \times 2 – 1 \\4) \to 7 = 4 + 3 = 8 – 1 = 4 \times 2 – 1 \\[/math]
شکل 1 کاملا مشخصه و نیاز به توضیح نداره ، اما شکل دوم که دارای سه مربع است خوب، باید چکار کنیم اینجا باید حالتهایی را ازجمع و تفریق اعداد را پیدا کنیم که نتیجه آنها عدد 3 باشه ، در بالا ببینید که 2+1 و همچنین 4-1 هر دو نتیجه آنها برابر سه است ، هنوز مطمئن نیستیم که کدام یک از اینها مطلوب ماست ، پس میریم سراغ شکل سوم ، در شکل سوم 5 مربع داریم 2+3 برابر عدد 5 میشه و همچنین 6 منهای یک هم برابر عدد 5 میشه ، اینجا به نظر میرسه که 6 منهای یک مطلوب تر هست ، چرا؟
چون اگر به رابطه شکل دوم نگاه کنیم ، می بینیم که در شکل 2 داشتیم که 4-1 =3 و حالا در شکل سوم داریم 6-1=5 اینها با هم دارای یک قاعده هستند و می توانیم آنها را بصورت ضربی از 2 در شماره جمله بنویسیم .به همین ترتیب برای شکل بعدی ادامه می دهیم و می بینیم که در شکل بعدی نیز 8-1=7 مناسب تر است .اکنون با نگاهی به روابطی که در بالا بدست آوردیم میتوانیم حدس بزنیم که فرمول کلی این الگو بصورت زیر است :
[math] {t_n} = 2n – 1 [/math]
با این حساب می توانیم بگوییم که شکل دهم الگوی فوق دارای :
[math] {t_{10}} = 2 \times 10 – 1 = 20 – 1 = 19[/math]
پس گزینه 4 صحیح است .(این الگو یک الگوی خطی است )
2-برای الگوی زیر ، یک مدل ریاضی ارائه دهید و شکل بیستم این الگو چند تکه چوب دارد ؟
1)20 2)50 3)61 4)29
همانطور که در شکل می بینید ، شکل اول ، چهار تکه چوب دارد و شکل دوم ، دارای 7 تکه چوب و شکل سوم دارای 10 تکه چوب :
[math]1) \to 4 = 3 + 1 \\2) \to 7 = 6 + 1 = 2 \times 3 + 1 \\3) \to 10 = 9 + 1 = 3 \times 3 + 1[/math]
با توجه به فرمولهای بالا جمله عمومی را می توان بصورت زیر نوشت :
[math] {t_n} = 3n + 1[/math]
با این حساب می توانیم بگوییم که شکل بیستم الگوی فوق دارای :
[math] {t_{20}} = 3 \times 20 + 1 = 61[/math]
جواب گزینه 3 درست است .(این الگو یک الگوی خطی است )
3-برای الگوی زیر ، یک مدل ریاضی ارائه دهید و شکل یازدهم این الگو چنددایره دارد ؟
1)66 2)55 3)61 4)26
پاسخ:
این الگو را الگوی مثلثی یا الگوی اعداد مثلثی می نامند .
حالا ببینیم چه طور اعداد مثلثی را بسازیم: اولی یک دایره دارد
دومین شکل 3 دایره دارد(2 دایره نسبت به شکل قبلش اضافه شده است).
سومین 6 دایره که طرح مثلث ادامه یابد(3 نسبت به شکل قبلش اضافه شده است)
چهارمین شکل 10دایره دارد(4 دایره نسبت به شکل قبلش اضافه شده است)
پس ترتیب عددها 1, 3, 6, 10. ام انچه جالب است تریب مجموع عددهاست ببینید
[math]1 \\3 = 2 + 1 \\6 = 3 + 2 + 1 \\10 = 4 + 3 + 2 + 1 \\[/math]
اگر نگاه کنید با نظم خاصی بین دو هر دو عدد اختلاف است.
برای نوشتن این اعداد میتوان از فرمول زیر استفاده کرد و چندمین عددمثلثی را حساب کرد. همچنین اینجا هر الگو برابر مجموع اعداد طبیعی از یک تا شماره همان جمله است به بیان دیگر می توان گفت که هرعدد مثلثی تشکیل شده است از حاصل جمع یکسری از اعداد متوالی طبیعی. به این معنی که
اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد از اعداد طبیعی
دومین معادل است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی،
سومین معادل است با مجموع سه عدد از اعداد طبیعی و …
و بالاخره n امین عدد مثلثی معادل است با مجموع n عدد از اعداد طبیعی و با توجه به اینکه فرمول جمع اعداد طبیعی بصورت :
[math]\frac{{n(n + 1)}}{2}[/math]
لذا فرمول جمله عمومی این الگو نیز بصورت زیر است :
[math]{t_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2}[/math]
پس جمله یازدهم بصورت زیر محسبه خواهد شد :
[math]{t_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2} \to {t_{11}} = \frac{{11(11 + 1)}}{2} = \frac{{11 \times 12}}{2} = 66[/math]
4-برای الگوی زیر ، یک مدل ریاضی ارائه دهید و شکل پانزدهم این الگو چند مربع دارد ؟
1)232 2)225 3)261 4)214
پاسخ :
این الگو را الگو اعداد مربع یا الگوی عددهای مربعی می نامند .
در شکل اول فقط یک مربع داریم
در شکل دوم چهار مربع داریم : عدد چهار میتونه از رابطه های زیر بدست آید :
[math]4 = 3 + 1 \\4 = 2 + 2 \\4 = {2^2} \\[/math]
در شکل سوم 9مربع داریم : عدد 9 میتونه از رابطه های زیر بدست آید :
[math]9 = 6 + 3 \\9 = 7 + 2 \\9 = 8 + 1 \\9 = {3^2} \\[/math]
در شکل چهار ما 16 مربع داریم ، ببینید تا اینجا ما با الگوی عددی زیر مواجه می شویم :
[math] 1,4,9,16[/math]
با یک نگاه ساده براحتی میتوان تشخیص داد که اینجا ، الگو ما یک عدد مربع است ، در واقع ما اینجا با جمع و تفریق اعداد سر و کار نداریم ، بلکه اینجا ، هر الگو برابر شماره الگو به توان 2 هست ، یعنی الگوی فوق را می توان بصورت زیر هم نوشت :
[math]{1^2},{2^2},{3^2},{4^2}[/math]
با این احساب می توان نتیجه گرفت که جمله عمومی این الگو بصورت زیر است :
[math]{t_n} = {n^2}[/math]
پس جمله پانزدهم بصورت زیر محاسبه می شود :
[math] {t_n} = {n^2} \to {t_{15}} = {15^2} = 225[/math]
گزینه 2 پاسخ صحیح است.
5-برای الگوی زیر ، یک مدل ریاضی ارائه دهید و شکل هشتم این الگو چند مکعب دارد ؟
1)132 2)356 3)461 4)512
پاسخ :
این الگو ، الگوی مکعبی نام دارد عددهای مکعبی یعنی عدد3باردر خودش ضرب شود یا به عبارتی هر عدد به توان 3
شکل اول دارای 1 مکعب ،شکل دوم دارای 8 مکعب یعنی [math] {2^3} [/math] و شکل سوم دارای 27 مکعب یعنی
[math] {3^3} [/math] با یک نگاه ساده براحتی متوجه می شویم که الگوی فوق دارای جمله عمومی بصورت زیر است :
[math] {n^3}[/math]
پس با این حساب جمله هشتم این الگو بصورت زیر محاسبه می شود :
[math] {t_n} = {n^3} \to {t_8} = {8^3} = 512[/math]
پس گزینه 4 جواب صحیح است.
6-با استفاده از الگوی زیر مشخص کنید که در کدام مرحله تعداد چوب کبریتها برابر 38 عدد می باشد ؟
1)11 2)12 3)9 4)13
پاسخ:
در شکل اول 8 چوب کبریت و در شکل دوم 11 چوب کبریت و در شکل سوم 14 چوب کبریت داریم ، در واقع اعداد زیر خواهند بود :
[math]8,11,14,..[/math]
همانطور که می بینید هر عدد از جملات الگوی زیر برابر جمله قبلی به اضافه 3 می باشد یعنی از هر شکل به شکل بعدی سه چوب کبریت اضافه می شود :
[math]11 = 8 + 3 \\14 = 11 + 3[/math]
اما جمله عمومی چگونه بدست می آید :
[math]{t_1} = 8 = 3 \times 1 + 5 \\{t_2} = 11 = 3 \times 2 + 5 \\{t_3} = 14 = 3 \times 3 + 5[/math]
با توجه به محاسبات بالا می بینیم که در هر جمله ، شماره جمله ضرب در عدد 3 می شود و با عدد 5 جمع می شود ، بنابر این جمله عمومی الگوی فوق بصورت زیر است :
[math]{t_n} = 3 \times n + 5 = 3n + 5[/math]
حالا که جمله عمومی دنباله را بدست آوردیم میخواهیم بدانیم که کدام جمله الگوی فوق ما برابر 38 است ، به عبارت دیگر میخواهیم بدانیم که شکل چندم از الگوی فوق دارای 38 چوب کبریت است ،برای اینکار از روش زیر استفاده می کنیم جمله عمومی را مساوی عدد 38 قرار می دهیم تا متغیر n یعنی شماره جمله بدست آوریم :
[math]3n + 5 = 38 \to 3n = 38 – 5 \to 3n = 33 \to n = 11[/math]
پس جواب گزینه 1 صحیح است .
7-در شکل زیر شکل دهم الگو چندنقطه دارد ؟
1)101 2)012 3)190 4)30
پاسخ :
این الگو را الگو مسدسی یا الگوی شش ضلعی می گویند در برخی کتابها به اشکال زیر هم نمایش می دهند
در شکل بالا ما دو فرم متفاوت از این الگوی شش ضلعی را مشاهده می کنیم ، در شکل سمت راست از یک نقطه آغاز می شود و تمام شش ضلعیهای دیگر تو در تو به سمت بیرون بزرگ و بزرگتر می شوند ، اما در شکل سمت چپ به نحو دیگری این شش ضلعی کشیده شده است . اما ماهیتا هر دو شکل بالا و شکل مساله دارای الگوی عددی بصورت زیر خواهد بود :
[math] 1,6,15,28,45,66,91,….[/math]
حالا میخواهیم جمله عمومی این الگو را پیدا کنیم یه نکته وجود دارد که خیلی مهم هست
اگر اختلاف جملات الگو یک عدد ثابت باشه ، دانستیم که این الگو ک الگوی خطی هست و جمله عمومی آن درجه یک است .اما اگر اختلاف جملات الگو یک عدد ثابت نباشه ، ابتدا اختلاف هر دو جمله الگو را بدست می آوریم که این اختلافهای خودشان تشکیل یک الگو می دهند .مثلا در الگوی فوق :
جملات الگو بصورت زیر است :
[math] 1,6,15,28,45,66,91,….[/math]
حالا اختلاف هر دو جمله الگوی فوق ، بصورت زیر است :
[math] 5,9,13,17,….[/math]
مطالبق تصویر بالا ، می بینیم که وقتی اولین تفاضل را بین جملات الگو حساب کردیم ، یه الگویی بدست آمد که در شکل بالا در سطر دوم نمایش داده ایم .
[math] 5,9,13,17,….[/math]
حالا باز هم اختلاف دو جمله متوالی این الگو را بدست می آوریم ، چون اختلاف هر دو جمله در این الگو عدد ثابتی شد ، پس تا اینجا یعنی دومین تفاضل جملات الگو متوقف می شویم .
نکته : چنانچه در الگویی در دومین تفاضل جملات الگو به عدد ثابتی برسیم ، پس این الگو یک الگو درجه دوم هست و جمله عمومی آن بصورت زیر است :
[math] {t_n} = a{n^2} + bn + c[/math]
که در اینجا مقادیر a,b,c مجهول هست و باید آنها را با استفاده از جملات الگو بدست آوریم .
می دانیم که در الگوی فوق جمله اول عدد یک است پس در معادله درجه دوم بجای n عدد یک قرار می دهیم و در جمله دوم n=2 و جمله برابر 6 است و به همین ترتیب بصورت زیر :
[math]{t_n} = a{n^2} + bn + c \\n = 1 \to {t_1} = a + b + c = 1 \\n = 2 \to {t_2} = 4a + 2b + c = 6 \\n = 3 \to {t_3} = 9a + 3b + c = 15[/math]
حالا از این سه معادله فوق میتوانیم بصورت دستگاه حل کنیم و مقادیر a,b,c را بدست آوریم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1 \\4a + 2b + c = 6 \\\end{array} \right\} \to 4a + 2b + c – (a + b + c) = 3a + b = 5 \\\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b + c = 15 \\4a + 2b + c = 6 \\\end{array} \right\}9a + 3b + c – (4a + 2b + c) = 5a + b = 9 \\\\\left\{ \begin{array}{l}3a + b = 5 \\5a + b = 9 \\\end{array} \right\} \to (3a + b) – 5a + b = 2a = 4 \Rightarrow a = 2 \\b = – 1 \\c = 0 \\[/math]
حالا مقادیر a,b,c را در معادله درجه دوم جایگزاری می کنیم تا جمله عمومی بدست آید .
[math] {t_n} = 2{n^2} – n = n(2n – 1)[/math]
حالا شکل دهم با استفاده از فرمول بالا محاسبه می شود .
[math] {t_{10}} = 10(2 \times 10 – 1) = 10 \times 19 = 190[/math]