چند تمرین از ترکیب
قبل از مطالعه تمرینات اگر در مورد ترکیب اطلاع ندارید حتما روی سطر زیر کلیک کنید و مطالب را یاد بگیرید
آموزش ترکیب در آنالیز ترکیبیاتی
1-به چند طریق میتوان از میان 5 مرد و 3 زن ،یک گروه 5 نفری انتخاب کرد به طوریکه این گروه شامل حداقل 2 زن باشد ؟
پاسخ : چون گفته حداقل 2 زن باید باشد پس یعنی این گروه 5 نفری یا 2 زن و 3 مرد دارد یا 3 زن و 2 مرد دیگه بیشتر از این نمیشه چون زنها اینجا کلا 3 تا بیشتر نیستن.
پس حالت انتخاب 2 زن و سه مرد
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right) = 3 \times 10 = 30[/math]
حالت انتخاب 3 زن و 2 مرد
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\3\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\2\end{array}} \right) = 1 \times 10 = 10[/math]
و سرانجام جواب نهایی ما می شود جمع دو حالت بالا
[math]30+10=40[/math]
2-در یک امتحان نهایی 10 سوال داده شده است ،به چند طریق می توان 8 سوال را جهت پاسخ گویی انتخاب کرد ،به شرط آنکه حداقل 4 سوال از 5 سوال اول انتخاب شده باشند؟
پاسخ:
ما 10 سوال داریم 5 تا اول و 5 تا دوم ، اینجا چون گفته حداقل 4 تای اول انتخاب بشن پس :
چون گفته حداقل 4 تا از پنج سوال اول یعنی دو حالت داریم – حالت اول ما 4 تا سوال از 5 تای اول انتخاب کنیم حالت دوم 5 تا سوال از 5 تای اول انتخاب کنیم.
حالت اول :انتخاب 4 سوال از 5 سوال اول و انتخاب 4 تای دیگه از 5تای دوم
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\4\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\4\end{array}} \right) = 25[/math]
حالت دوم انتخاب 5 تا از 5 تا سوال اول و 3 سوال از 5 تای دوم
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\5\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right) = 10[/math]
و جواب نهایی ما
[math]25+10=35[/math]
3-از میان 7 کشتی گیر و 5 وزنه بردار به چند روش می توان 3 نفر انتخاب کرد به طوری که حداقل یک نفر کشتی گیر باشد؟
پاسخ
چون اینجا گفته حداقل یکی کشتی گیر ، بهتره از اصل متمم استفاده کنیم . متمم عبارت خواسته شده ((حداقل یک نفر کشتی گیر )) برابر است با آن که هیچ کدام از سه نفر کشتی گیر نباشند .یعنی هر 3 نفر از میان 5 وزنه بردار انتخاب شوند پس :
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right) = \frac{{5!}}{{3!2!}} = 10\\[/math]
از طرف دیگر تعداد کل حالاتی که انتخاب 3 نفر از میان همه یعنی 12 نفر با هم کشتی گیر و وزنه بردار با هم
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{12}\\3\end{array}} \right) = \frac{{12!}}{{9!3!}} = 220[/math]
حالا طبق قاعده متمم
تعداد حالات نامطلوب (متمم)-کل حالات=حالا مطلوب
[math]=220-10=210[/math]حالا مطلوب
4-به چند طریق می توان 8 نفر را در 7 اتاق متمایز قرار داد بطوریکه در هر اتاق حداقل یک نفر قرار گیرد ؟
پاسخ :
ما هشت نفر داریم که باید در 7 اتاق جا بدیم ، یعنی اینکه در یکی از اتاقها باید دو نفر قرار بگیرند و در بقیه اتاقها یک نفر ، حالا وقتی 2 نفر را در یک اتاق قرار دادیم باقیمانده 6 نفر خواهند بود .
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2نفر |
ابتدا 2 نفر را انتخاب می کنیم و این دو نفر را در یکی از اتاقها قرار می دهیم .این کار را به:
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}8\\2\end{array}} \right) \times 7[/math]
شاید این سوال مطرح بشه چرا در بالا ما ترکیب 8 و 2 را در عدد 7 ضرب کردیم ، ببینید ما ابتدا باید 2 نفر را از میان 8 نفر انتخاب کنیم خوب این یه ترکیب است اما بعدش که اینها رو انتخاب کردیم حالا باید این دو نفر انتخاب شده را در یه اتاقی قرار دهیم خوب ما اینجا هفت اتاق داریم پس در واقع برای اسکان این دو نفر در یکی از هفت اتاق ما هفت انتخاب داریم پس در عدد هفت ضرب کردیم .
حالا 6 نفر باقی مانده را می توان با [math]6![/math] روش بین 6 اتاق باقی مانده جا داد پس جواب ما :
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}8\\2\end{array}} \right) \times 7 \times 6! = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}8\\2\end{array}} \right) \times 7! = 28 \times 7![/math]
5-چند تا عدد 7 رقمی با ارقام 2و3و8 داریم بطوریکه دقیقا دو رقم 8 داشته باشند؟
پاسخ :
فرم عدد 8 رقمی بصورت زیر است :
اکنون باید اول تکلیف دو رقم 8 را مشخص کنیم .ما به تعداد
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}7\\2\end{array}} \right)[/math]
حالت می توانیم 2 تا عدد هشت را در 7 خانه بالا جایگذاری کنیم .پس از آن 5 تا خانه خالی برای ما باقی می ماند .که برای هر کدام از این جاهای خالی ما دیگه فقط 2 رقم 2و3 را داریم . و چون 5 تا خانه هستند پس جواب ما :
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}7\\2\end{array}} \right) \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}7\\2\end{array}} \right) \times {2^5}\\[/math]