صفر گمراه کننده در آنالیز ترکیبی ،نکته مهم در ترکیبیات
من در مطالب قبلی
جایگشتهای باتکرار و یک در میان
در مورد جایگشت با تکرار صحبت کردیم و فرمولی هم برای ان بدست آوردیم
تعداد جایگشتهای n شی که در آن [math]{a_1}[/math] شی مثل هم و [math]{a_2}[/math] شی مثل هم و [math]{a_k}[/math] شی مثل هم باشند برابر است با:
[math] \frac{{n!}}{{{a_1}! \times {a_2}! \times …{a_k}!}}[/math]
، اما نکته بسیار مهمی که اینجا وجود دارد این است که همیشه این فرمول کاربرد ندارد ، اصولا ریاضی و بخصوص آنالیز ترکیبی را نمی توان صرفا با فرمولها حل کرد بلکه اینجا حتما باید شما خلاقیت داشته باشید و مساله را عمیق تحلیل کنید و همچنین مطالب درس و مفاهیم را عمیقا بفهمید . در دو تمرین زیر :
تمرین 1 حالت نرمالی دارد و نشان می دهد چگونه براحتی می توان با استفاده از فرمول جواب را بدست آورد اما
تمرین 2 نکته گمراه کننده ای دارد که باید بهش دقت کنید در واقع در تمرین 2 عدد صفر داده شده همان نکته گمراه کننده مساله ما است.
تمرین 1:با ارقام {3,4,1,5,5,2,2,2} چند عدد هشت رقمی می توان نوشت ؟
تعداد کل اشیا یا همان ارقام داده شده هشت رقم است پس طبق فرمول بالا داریم :
[math] \frac{{8!}}{{2! \times 3!}}[/math]
تمرین 2:با اعداد 3,4,1,0,0,5,5,5 چند عدد هشت رقمی می توان ساخت ؟
[math]1)8!\\2)\frac{{7!}}{{2!}}\\3)\frac{{8!}}{{3!3!}}\\4)\frac{{7!}}{{2!3!}}\\[/math]
پاسخ : در نگاه اول شاید با توجه به فرمول جایگشت با تکرار و با توجه به اینکه هشت رقم داریم که در آن 2بار عدد صفر و سه بار عدد 2 تکرار شده پس باید جواب ما :
[math]\frac{{8!}}{{2!3!}}[/math]
اما جواب بدست آمده صحیح نیست چرا ؟
چون اینجا ما عدد صفر را داریم و باید دقت کنیم که در عدد هشت رقمی عدد بصورت زیر عدد اولی نمی تواند صفر باشد .
8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
نمی تواند صفر باشد |
در واقع ما برای پر کردن خانه شماره 1 اینجا فقط 6 رقم داریم (چون دوتا عدد صفر تکراری داریم) پس این حانه شماره 1 با 6 رقم فقط پر می شود . خانه شماره 2 با هفت رقم باقی مانده می تواند پر شود و به همین ترتین خانه سوم با 6 رقم و خانه چهارم با 5 رقم و بصورت جدول زیر :
8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 6 |
در واقع از خانه شماره هفت به بعد ما با جایگشت با تکرار مواجه می شویم و با توجه به جدول بالا حالتهای ما در صورتی که ارقام متمایز باشند
[math] 6 \times 7![/math]
اما چون ارقام تکراری اینجا داریم پس طبق فرمول جایگشت با تکرار
[math]6 \times 7! = \frac{{6 \times 7!}}{{3! \times 2!}} = \frac{{7!}}{{2!}}[/math]
پاسخ گزینه 2 صحیح است.