تبدیل اعداد اعشاری متناوب به کسر
اعداد اعشاری متناوب
ما در مطلب قبلی تبدیل اعداد اعشاری به کسر را توضیح دادیم و گفتیم که چگونه می توان یک عدد اعشاری ساده را به کسر تبدیل کرد .اکنون می خواهیم در مورد تبدیل اعداد اعشاری متناوب صحبت کنیم . قبل از آن یک مقدمه در مورد اعداد اعشاری متناوب ارائه می کنم.
تعریف اعداد اعشاری متناوب (repeating decimals) :
به عددهای اعشاری گفته می شود که از تقسیم کسرهایی بدست می آیند که حاصل آن عددی اعشاری است .اما این عدد اعشاری دارای یک دوره گردش (اعداد تکراری)که هیچگاه صفر نمی شود ،درواقع این اعشار یک اعشار بی انتها است مانند :
[math]2.5423232323232323………[/math]
[math]0.777777777777777777……..[/math]
ما برای سادگی ، اعدادی که تکرار می شوند را با یک خط بالای آن می نویسیم یعنی این اعداد دارای دوره گردش و تکرار هستند ، اعداد بالا بصورت نماد زیر نمایش داده می شوند :
[math] 2/54\bar{23}\\0/\bar{7}[/math]
حالا سوال این است که این اعداد را چگونه می توان به کسر تبدیل کرد ؟ برای این کار مراحل پنجگانه زیر را باید انجام دهیم :
1-عدد را مساوی متغیر [math]x[/math]قرار می دهیم.
2-اعداد تکراری (دوره گردش) را مشخص می کنیم.
3-عدد و متغیر [math]x[/math] را در عددی مضرب 10 ( 10 به توان)، ضرب می کنیم به طوریکه یک دوره از اراقام گردشی به سمت چپ اعشار بیاید (طرفین را در 10 به توان تعداد ارقام دوره گردش + بقیه اعشارها ضرب می کنیم)
4-اکنون عدد [math]x[/math] را طوری حساب می کنیم که تمام اعداد اعشاری تکراری در سمت راست اعشار قرار بگیرند (طرفین را در 10 به توان ارقام دوره غیر گردش ضرب می کنیم).
5-حالا عبارت بخش 3 و 4 را از هم کم می کنیم و متغیر [math]x[/math] را محاسبه مي كنيم ، كسر ما بدست می آید.
مثال : مطلوبست تبدیل اعشار [math]0.5555555555…[/math] به كسر ?
مرحله اول:
[math]x=0.555555555…[/math]
مرحله دوم :تشخیص ارقام گردشی ، در این اعشار ، عدد 5 گردشی است.
مرحله سوم :ببینید اینجا یک حالت خاص داره ، چون تمام اعداد گردشی هستند همچنین اینجا تعداد ارقام دوره گردش یک هست پس هر دو طرف را باید در عدد 10 ضرب کنیم.
پس از ضرب در عدد 10 خواهیم داشت که :
[math]10x=5.55555555..[/math]
مرحله 4: اینجا چون دوره غیر گردش ما صفر هست و در واقع سمت راست عدد اعشاری ما همه گردشی هستند پس تعداد ارقام اعشاری غیر گردشی صفر هست و عدد 10 به توان صفر میشه 1 پس داریم که :
[math] x=0.55555555..[/math]
مرحله 5: اکنون حالت 3 و4 را از هم کم می کنیم :
[math]10x=5.55555555..[/math]
[math] x=0.55555555..[/math]
[math] 10x-x=5.55555555-0.55555555..[/math]
[math]9x=5 [/math]
[math]x=\frac{5}{9} [/math]
مثال : مطلوبست تبدیل اعشار [math]1.04242424242[/math] به كسر؟
مرحله اول :
[math] x = 1.04242424242 [/math]
مرحله دوم :تشخیص ارقام گردشی ، در این اعشار ، عدد 42 گردشی است.
مرحله سوم :تعداد ارقام گردشی 2 هستند ، اما ما می خواهیم یک عدد از ارقام گردشی را خارج کنیم و ببریم به سمت چپ پس باید در 10 به توان 3 ضرب کنیم (10 به توان دوره گردش+بقیه اعداد اعشاری که اینجا یک هست پس میشه 2+1)
خواهیم داشت :
[math]1000x=1042.42424242424224[/math]
مرحله 4 : سرانجام در این مرحله میخواهیم کل اعداد گردشی همه با هم طرف راست اعشار باشند یعنی
پس خواهیم داشت که :
[math]10x=10.4242424242[/math]
مرحله 5 : تفاضل اعداد مرحله 3 و 4 از هم
[math]1000x=1042.4242424242[/math]
[math]10x=10.4242424242[/math]
[math]1000x-10x=1042.4242424242-10.4242424242[/math]
[math]990x=1032[/math]
[math] x=\frac{1032}{990}[/math]
سلام ممنون عالی بود موفق باشید
کامل و عالی بود، ممنون
خیلی ممنون من در هر سایتی می رفتم توضیحات خیلی پیچیده ای نوشته بود اما تو این سایت خیلی راحت این راه حل را فهمیدم
ممنون اگه عدد اعشاری مختوم رو هم قرار میدادین بهتر بود
عالییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی بود .
عالییییییییییییییییییییییییییییییییی بود .
سلام. خیلی ممنونم. روش خوب و اصولی بود چون در شرایط مختلف درست جواب میده.