مفهوم ریاضی حد و همسایگی
در بخش گذشته به مفهوم تئوری حد پرداخیتم ،در این مطلب می خواهم مفهوم ریاضی حد را بیان کنم .
همانطور که قبل گفتیم ، اگر ما یک تابعی داشته باشیم که در این تابع مقدار متغیر ما به یک عدد نزدیک و متمایل باشد آنگاه مقدار تابع ما هم به عددی خاص نزدیک خواهد شد .در واقع ما وقتی می خواهیم حد تابعی را در نقطه ای بدست آوریم ، با خود آن نقطه کاری نداریم بلکه ما می خواهیم رفتار تابع را در نزدیکیهای آن نقطه بررسی کنیم .
با توجه به مفهوم حد که در بخش قبل گفتیم ،برای انکه بتوان مقادیر متغیر را از دو طرف چپ و راست به عددی مانند a ،نزدیک کنیم کافیست تابع مورد نظر ما در یک بازه باز شامل a تعریف شده باشد.
البته ما در محاسبه حد تابع در نقطه a ،رفتار تابع در دو طرف نقطه a برای ما اهمیت دارد و لزومی ندارد خود a در دامنه تابع باشد.بنابر این لازم است یکسری مفاهیم اساسی را برای حد تعریف کنیم:
1-همسایگی یک نقطه :
اگر [math] {x_0} [/math] یک عدد حقیقی باشد ،هر بازه باز [math](a,b)[/math] شامل [math] {x_0} [/math] را یک همسایگی [math] {x_0} [/math] می نامیم:
یعنی در واقع [math] {x_0} \in (a,b) [/math] آنگاه بازه باز [math](a,b)[/math] شامل [math] {x_0} [/math] است.
2-همسایگی محذوف:
اگر [math] {x_0} [/math] را از بازه بالایی یعنی [math](a,b)[/math] حذف کنیم ، مجموعه [math] (a,b) – \left\{ {{x_0}} \right\} [/math] را همسایگی محذوف [math] {x_0} [/math] می نامیم:
همسایگی محذوف یک نقطه ،یک بازه نمی باشد اما می تواند اجتماعی از دو بازه باشد:
[math] (a,b) – \left\{ {{x_0}} \right\} = (a,{x_0}) \cup ({x_0},b) [/math]
مثال 1: بازه [math](-1,1)[/math] را در نظر بگیرید .
این بازه [math](-1,1)[/math] همسایگی صفر است .چون صفر متعلق به این بازه است :
اما بازه زیر همسایگی محذوف صفر را نمایش می دهد :
[math] ( – 1,1) – \{ 0\} = ( – 1,0) \cup (0,1) [/math]
مثال 2:هر یک از بازه های [math](3,5),(0,12),(3.99,4.01)[/math] یک همساگی باز عدد 4 هستند در حالیکه بازه [math](6,9)[/math] همسایگی باز عدد 4 نیست .چون عدد 4 اصلا متعلق به این بازه نیست.
مثال 3:مجموعه [math](4,6)-{10}[/math] یک همسایگی باز محذوف عدد 10 می باشد چون عدد 10 اینجا در بازه نیست .
3-همسایگی راست :
اگر [math]r>0[/math] در این صورت بازه [math] ({x_0},{x_0} + r) [/math] را یک همسایگی راست نقطه [math] {x_0} [/math] می گوییم.
4-همسایگی چپ :
اگر [math]r>0[/math] در این صورت بازه [math] ({x_0}-r,{x_0}) [/math] را یک همسایگی چپ نقطه [math] {x_0} [/math] می گوییم.
مثال 4: بازه [math](2,3)[/math] همسایگی راست 2 است.
اکنون با این مقدمات ذکر شده حالا می توانیم تعریف ریاضی حد را ارائه بدیم
تعریف حد یک تابع :
فرض کنیم تابع f در یک همسایگی محذوف a تعریف شده باشد و ممکن است در a نیز تعریف شده باشد. می گوییم حد تابع f وقتی که x به a نزدیک می شود برابر عدد حقیقی L است .در این صورت می نویسیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L [/math]
عدد L را حد تابع f در a می نامیم.
این حد را به شکل دقیقتر دیگری نیز می توانیم تعریف کنیم.
تعریف [math]|x-a|[/math] یعنی فاصله x تا عدد a
اگر x را به سمت عدد a نزدیک کنیم آنگاه فاصله x تا a کوچک می شود [math]|x-a|[/math]
اگر x را خیلی خیلی خیلی به عدد a نزدیک کنیم آنگاه فاصله x تا عدد a یعنی [math]|x-a|[/math] خیلی خیلی خیلی کوچک می شود بطوریکه این فاصله از هر عدد حقیقی مثبت کوچکتر می شود و به عدد صفر نزدیک می شود .
اگر [math] \delta [/math] دلتا یک عدد مثبت بسیار کوچک باشدمی توان جملات را بصورت زیر خلاصه کرد
[math] x \to a \Rightarrow |x – a| < \delta [/math]
تعریف [math]|f(x)-L|[/math] یعنی فاصله [math]f(x)[/math] تا عدد a
اگر [math]f(x)[/math] به سمت عدد L نزدیک شود انگاه فاصله [math]f(x)[/math] تا L کوچک می شود اما اگر [math]f(x)[/math] را خیلی خیلی خیلی به عدد L نزدیک کنیم آنگاه فاصله [math]f(x)[/math] تا L خیلی خیلی خیلی کوچک می شود بطوریکه فاصله [math]f(x)[/math] تا L از هر عدد مثبتی کمتر می شود و به صفر نزدیک می شود.
اگر اپسیلون [math] \varepsilon [/math] یک عدد مثبت بسیار کوچک باشد ، می توان جملات بالا را بصورت زیر نوشت :
[math] f(x) \to L \Rightarrow |f(x) – L| < \varepsilon [/math]
مثال 5: حد تابع [math] \frac{{\sin x}}{x} [/math] را در نقطه صفر بدست آورید .
ما می دانیم که این تابع در نقطه صفر تعریف نشده است پس در همسایگی صفر باید حد را حساب کنیم.
به جدول بالا نگاه کنید هر چه x به عدد صفر نزدیک می شود حاصل عبارت [math] \frac{{\sin x}}{x} [/math] به عدد یک نزدیک می شود پس حد عبارت ما برابر 1 است .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1 [/math]
همانطور که دیدیم تابع فوق در همسایگی نقطه صفر تعریف شده بود اما در صفر تعریف نشده بود اما چون در همسایگی صفر تعریف شده بود پس دارای حد است.
مثال 6: آیا تابع [math] f(x) = \sqrt {2 – x} [/math]در نقطه [math]x=2[/math] دارای حد است ؟
ابتدا می دانیم که دامنه این تابع برابر [math] {D_f} = ( – \infty ,2] [/math] یعنی مقادیر کوچکتر از 2 در دامنه هست و تابع در مقادیر کوچکتر از 2 تعریف شده است اما در مقادیر بزرگتر از 2 تعریف نشده است پس نتیجه می گیریم در همسایگی محذوف 2 تعریف نشده است پس در نقطه x=2 حد ندارد.
نمودار تابع را در زیر ببینید
وقتی می گوییم باید در همسایگی محذوف 2 باید تعریف بشه یعنی در نمودار فوق ببینید به ازای مقادیر بزرگتر از 2 دیگر نمودار کشیده نمی شد و تعریف نشده اما به ازای مقادیر کوچکتر از 2 نمودار کشیده شده و تابع تعریف شده است .پس به طور کلی این تابع در همسایگی محذوف 2 حد ندارد.
نتیجه گیری : شرط وجود حد در یک نقطه آن است که تابع در همسایگی آن نقطه باید تعریف شده باشد.
سلام . من دانش آموز اول دبیرستان هستم .
میتوانید جواب دهید مفهوم این علایم چیست ؟
آیا برای المپیاد فیزیک باید این مفاهیم را بلد باشیم ؟؟؟؟؟؟
با سلام
مفهوم حد یکی از مفاهیمی است که در مقطع سوم دبیرستان به بعد تدریس می شود
اول دبیرستان فعلا نیازی به دانستن مفهوم حد ندارد
با تشکر
عالی بود استاد.
کاملا درک کردم حد یعنی چی.
بسیار سپاس گذارم.
سلام استاد سپاسگزارم از زحماتتون ریاضی من درحد همون دودوتا چهارتا بود و از ریاضی متنفر بودم چون چیزی ازش متوجه نمیشدم ولی شما خیلی مفهومی و خوب توضیح دادید بطوری ک کم کم داره از ریاضی خوشم میاد وتصمیم دارم از اول شروع کنم و پایم رو قوی کنم
سارا-کاردانی معماری
سلام استاد من همین امروز عضو شدم. واقعا مطالبتون ارزشمنده و مفهمومی. من فرمولی که زیر قسمت”تعبیری دیگر” که در داخلش از اپسیلون و چند تا علایم دیگه استفاده کردید رو ، متوجه نشدم.اگر ممکنه یه توضیحی بفرمایید.
با سلام و درود خدمت شما
ظرف یکی دو روز آینده در زیر همین نوشته مطالب مفهومی تر بیان خواهم کرد تا ابهام شما بر طرف شود
با تشکر
ممنونم.بی صبرانه منتظر خواهم ماند
ممنونم استاد فهمیدم قضیه چیه. بسیار ممنونم.اگر سوال دیگه داشتم در درس های بعدی با اجازتون میپرسم.