تمرینات بخش حد گیری از توابع جزء صحیح
آموزش حد گیری از توابع جزء صحیح
تمرینات بخش حد گیری از توابع جزء صحیح
حدود زیر را محاسبه کنید .
[math]1)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{3\pi }}{4}} [\sqrt 2 \cos x] = ? \\[/math]
ابتدا حد چپ را بررسی می کنیم همانطور که می دانیم کسینوس x در نقطه سه پی تقسیم بر چهار برابر است با رادیکال 2 تقسیم بر 2 است اما اینجا کوچکتر از این مقدار است .
[math] x \to {\frac{{3\pi }}{4}^ – } \to – \frac{{\sqrt 2 }}{2} < Cosx < 0 \to – 1 < \sqrt 2 Cosx < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{3{\pi ^ – }}}{4}} [\sqrt 2 \cos x] = – 1 \\[/math]
سپس حد راست را بررسی می کنیم
[math]x \to {\frac{{3\pi }}{4}^ + } \to – 1 < Cosx < – \frac{{\sqrt 2 }}{2} \to – \sqrt 2 < \sqrt 2 Cosx < – 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{3{\pi ^ + }}}{4}} [\sqrt 2 \cos x] = – 2[/math]
[math]2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\frac{{\sin }}{x}][/math]
می دانیم که وقتی [math]x<0[/math] آنگاه [math]Sinx<x[/math] و در نتیجه [math]0<\frac{{\sin }}{x}<1[/math] بنابر این :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [\frac{{\sin }}{x}]=0[/math]
همچنین با توجه به زوج بودن این تابع [math]\frac{{\sin }}{x}[/math]و همچنین سینوس و متغیر x در حد چپ هر دو منفی می شوند اما نتیجه آن مثبت خواهد بود پس داریم که :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} [\frac{{\sin }}{x}] =0[/math]
[math]\mathop {3)\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{[x] + 3 + x}}{{[x + \frac{1}{2}] + [ – 2x] + 4 – x}} = ? \\[/math]
[math] x \to {1^ – } \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} [x] = 0 \\ 1 < x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} \to [x + \frac{1}{2}] = 1 \\ – 2 < – 2x < – 1 \to [ – 2x] = – 2 \\ \end{array} \right\} \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{[x] + 3 + x}}{{[x + \frac{1}{2}] + [ – 2x] + 4 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{0 + 3 + x}}{{1 – 2 + 4 – x}} = \frac{4}{2} = 2 \\ [/math]
و اما حد راست
[math]x \to {1^ + } \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} [x] = 1 \\ \frac{3}{2} < x + \frac{1}{2} < 2 \to [x + \frac{1}{2}] = 1 \\ – 3 < – 2x < – 2 \to [ – 2x] = – 3 \\ \end{array} \right\} \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{[x] + 3 + x}}{{[x + \frac{1}{2}] + [ – 2x] + 4 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{1 + 3 + x}}{{1 – 3 + 4 – x}} = \frac{5}{1} = 5 \\[/math]
[math]4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{|x|}}{x}[x] = ? \\[/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{|x|}}{x}[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x}[{0^ + }] = 1 \times 0 = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{|x|}}{x}[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{ – x}}{x}[{0^ – }] = – 1 \times – 1 = 1 \\[/math]
5-در کدام نقطه به طول صحیح از تابع [math]f(x)=4[x]+3[-x][/math] حد چپ دو برابر حد راست تابع است ؟
[math]\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = 4[{a^ + }] + 3[ – {a^ + }] = 4a + 3( – a – 1) = a – 3 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = 4[{a^ – }] + 3[ – {a^ – }] = 4(a – 1) + 3( – a) = a – 4 \\ \end{array} \right\} \to a – 4 = 2(a – 3) \to a = 2 \\[/math]
6-به ازای کدام مجموعه مقادیر a حد راست تابع [math]f(x)=[x]-[ax][/math] در [math]x=1[/math] از حد چپ 2 واحد بیشتر است ؟
ابتدا فرض می کنیم که a عدد صحیحی نیست :
[math]a \notin z \to \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 1 – [a] \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = – [a] \\ \end{array} \right\} \to \\[/math]
همانطور که می بیند (حدچپ – حد راست)=1 تفاضل حد چپ و راست برابر عدد یک است پس باید فرض کنیم a یک عدد صحیح است که اینجا دو حالت اتفاق می افتد حالت اول زمانی که a بزرگتر از صفر و حالت دوم a کوچکتر از صفر
[math]a \in z \\ 1)a > 0 \to \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 1 – [{a^ + }] = 1 – a \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = 0 – [{a^ – }] = 0 – (a – 1) = 1 – a \\ \end{array} \right\} \\[/math]
در این حالت حد چپ و راست با هم برابر شدند پس تابع در نقطه x=1 حد دارد حالا حالت دوم را بررسی می کنیم که a عددی کوچکتر از صفر باشد
[math]2)a < 0 \to \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 1 – [{a^ – }] = 1 – (a – 1) = 2 – a \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = 0 – [{a^ + }] = 0 – a = – a \\ \end{array} \right\} \\[/math]
در این حالت تفاضل حد چپ و راست برابر 2 است.
7-حد چپ تابع [math] f(x) = \frac{{x – |x|}}{{[x + 1] – x}}[/math] در نقطه صفر بدست آورید ؟
جواب :
[math]x \to {0^ – } \Rightarrow [x] = – 1 \Rightarrow [x + 1] = [x] + 1 = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{x – ( – x)}}{{0 – x}} = \frac{{2x}}{{ – x}} = – 2 \\[/math]
8-حد عبارت [math](1-x+[x]-[2x])[/math] وقتی [math] x \to {1^ – }[/math] بدست آورید.
جواب :
[math]x \to {1^ – } \Rightarrow 0 \le x < 1 \Rightarrow [x] = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} [2x] = [x] + [x + \frac{1}{2}] \\ 0 \le x < 1 \Rightarrow [x] = 0 \\ \frac{1}{2} \le x + \frac{1}{2} < 1 + \frac{1}{2} \to \frac{1}{2} \le x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2} \to [x + \frac{1}{2}] = 1 \\ \end{array} \right\}[2x] = 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (1 – x + [x] – [2x]) = 1 – 1 + 0 – 1 = – 1 \\[/math]
9-حاصل حد[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + 1)[\frac{1}{{x + 1}}][/math] را بدست آورید.
جواب :
[math]x \to {1^ – } \Rightarrow x + 1 \to {2^ – } \Rightarrow \frac{1}{{x + 1}} \to {\frac{1}{2}^ – } \Rightarrow [\frac{1}{{x + 1}}] = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + 1)[\frac{1}{{x + 1}}] = 1 \times 0 = 0 \\[/math]