حد توابع بخش 3-قضایای حد و محاسبه حد بعضی توابع
قضایای حد و محاسبه حد بعضی توابع
قضایای محاسبه حد
در بخشهای قبل در مورد مفهوم حد و حد چپ و راست توضیح دادیم ،اکنون می خواهیم در مورد قضایایی صحبت کنیم که محاسبه حد را آسانتر می کند.
قضیه 1:حد تابع ثابت
حد تابع ثابت [math]f(x)=c[/math] در هر عدد دلخواه a برابر مقدار ثابت c است . یعنی
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} c = c [/math]
مثال 1:فرض کنید [math] f(x) = \frac{3}{2} [/math] نمودار آن را رسم کنید و حد آن را در نقطه منفی یک و رادیکال 3 حساب کنید .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f(x) = ?\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } f(x) = ? [/math]
چون تابع ثابت است پس آن بصورت زیر خواهد بود .
همانطور که در شکل می بینید چون تابع ثابت است و خط راست است . پس یه ازای هم مقداری از x حد این تابع همان عدد [math] \frac{3}{2} [/math] خواهد بود پس :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f(x) = \frac{3}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } f(x) = \frac{3}{2} [/math]
قضیه 2:حد تابع همانی
تابع همانی با ضابطه [math]f(x)=x[/math] است .حد این تابع در هر عدد دلخواه a، برابر a است.یعنی :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} x = a [/math]
مثال 2:حد تابع همانی[math]f(x)=x[/math] را در نقطه زیر بدست آورید .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f(x) = ?\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } f(x) = ? [/math]
با توجه به نمودار تابع همانی [math]f(x)=x[/math] که در شکل بالا رسم شده است حد این تابع در نقاط داده شده به صورت زیر است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} x = – 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } x = \sqrt 3 [/math]
قضیه 3:حد مجموع یا تفاضل توابع ،ضرب و تقسیم
اگر دو تابع f و g در نقطه x=a حد داشته باشد و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = {L_1} [/math] و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = {L_2} [/math] ، آنگاه :
الف) حد مجموع :مجموع این دو تابع در x=a حد دارد و برابر است با :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = {L_1} + {L_2} [/math]
ب) حد تفاضل : تفاضل این دو تابع در x=a حد دارد و برابر است با :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) – g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) – \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = {L_1} – {L_2} [/math]
پ) حد حاصلضرب : حاصلضرب این دو تابع در x=a حد دارد و برابر است با :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x)g(x)) = \mathop {(\lim }\limits_{x \to a} f(x)) \times (\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)) = {L_1} \times {L_2} [/math]
ت) حد خارج قسمت : تقسیم دو تابع [math] \frac{f}{g} [/math] این دو تابع در x=a حد دارد به شرط آنکه [math] {L_2} \ne 0 [/math]و برابر است با :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (\frac{{f(x)}}{{g(x)}}) = \frac{{\mathop {(\lim }\limits_{x \to a} f(x))}}{{(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x))}} = \frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}\\{L_2} \ne 0 [/math]
مثال 3: توابع [math] f(x) = 2x + 1[/math] و [math]g(x) = {x^2} [/math] را در نظر بگیرید.اکنون حد جمع و تفریق و ضرب و تقسیم آنها را در x=1 حساب کنید.
ابتدا حد هر یک از توابع را در نقطه x=1 جداگانه حساب می کنیم . همانطور که در شکل زیر می بینید نمودارهای این دو تابع به صورت زیر است :
 |
 |
|
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2x + 1 = 3 [/math] |
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} = 1 [/math] |
| همانطور که در نمودار می بینید وقتی x به عدد 1 نزدیک می شود از راست و چپ نمودار به سمت عدد 3 نزدیک می شود ،علاوه بر این اگر به جای x عدد 1 قرار دهیم حد تابع برابر 3 خواهد شد | همانطور که در نمودار می بینید وقتی x به عدد 1 نزدیک می شود از راست و چپ نمودار به سمت عدد 1 نزدیک می شود ،علاوه بر این اگر به جای x عدد 1 قرار دهیم حد تابع برابر 1 خواهد شد |
الف) اکنون میخواهیم حد مجموع را حساب کنیم اول این دو تابع را با هم جمع می کنیم :
[math] f(x) + g(x) = 2x + 1 + {x^2} = {x^2} + 2x + 1 [/math]
حاصل یک تابع درجه 2 شد اکنون در واقع باید حد [math] {x^2} + 2x + 1 [/math] را در نقطه x=1 حساب کنیم .نمودار آن مطابق شکل زیر خواهد بود :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 2x + 1) = 4 [/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x + 1) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} = 3 + 1 = 4 [/math]
ب) اکنون میخواهیم حد تفاضل را حساب کنیم اول این دو تابع را از هم کم می کنیم :
[math] f(x) – g(x) = 2x + 1 – {x^2} [/math]
حاصل یک تابع درجه 2 شد اکنون در واقع باید حد [math] 2x + 1 – {x^2} [/math] را در نقطه x=1 حساب کنیم .نمودار آن مطابق شکل زیر خواهد بود :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (f(x) – g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x + 1 – {x^2}) = 2 [/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) – \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x + 1) – \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} = 3 – 1 = 2 [/math]
قضایای بیشتری در مورد حد
اگر c یک عدد دلخواهد باشد و حد [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) [/math] موجود باشد تساویهای زیر برقرار است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} cf(x) = c\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f^n}(x) = {(\mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to a} )^n}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to a} ( – f(x)) = – \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{f(x)}} = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)}}\\if\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) \ne 0\end{array} \right\} [/math]
قضیه حد چند جمله ای :
چند جمله ای [math] p(x) = {b_n}{x^n} + {b_{n – 1}}{x^{n – 1}} + … + {b_1}x + {b_0} [/math] در هر نقطه دلخواهد a حد دارد و مقدار حد با مقدار چند جمله ای در نقطه a براب است یعنی :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} p(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} ({b_n}{x^n} + {b_{n – 1}}{x^{n – 1}} + … + {b_1}x + {b_0}) = p(a) [/math]
مثال 4: حد چند جمله ای [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2{x^2} + 3x + 1) [/math] را حساب کنید.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2{x^2} + 3x + 1) = 2(1) + 3(1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 [/math]
تعمیم قضیه جمع و ضرب توابع :
برای جمع و ضرب توابع رابطه زیر برقرار است:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right) + \ldots + {f_n}\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) + \ldots + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_n}\left( x \right) [/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right){f_2}\left( x \right) \cdots {f_n}\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right)\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_2}\left( x \right) \cdots \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {f_n}\left( x \right) [/math]
تمرینات بخش
1-حدهای زیر را محاسبه کنید.
[math] 1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 10} \left( {2x\lg {x^3}} \right) [/math]
[math] 2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{4{x^2}}}{{1 + \sqrt x }} [/math]
تمرین 3:فرض کنید [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 2 [/math] و حد تابع دیگری [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = 3 [/math] باشد حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید.
تمرین 4:تابع g را به گونه ای تعریف کنید که داشته باشیم [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{g(x)}}{{{x^2} – 1}} = 4 [/math]
تمرین 5:در تابع زیر مقدار b را طوری تعیین کنید که تابع در x=-1 حد داشته باشد:
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + [x]}}{{|x|}}}&{x < – 1}\\{3x + b}&{x > – 1}\end{array}} \right\} [/math]
تمرین 6: نمودارهای توابع f ,gبصورت زیر داده شده است .
پاسخ تمرینات فوق در این لینک کلیک کنید تا پاسخ را ببینید
سلام استاد
اگر زحمتي نيست اثبات هاشون هم قرار دهيد.خيلي ممنون