ترکیب و قضیه دو جمله ای
ترکیب و قضیه دو جمله ای
یکی از کاربردهای مهم ترکیب در قضیه دو جمله ای و چند جمله ای است که می توانیم بدون نیاز به محاسبه کل عبارت براحتی ضریب یک جمله را بدست آوریم .من قبل از وارد شدن به بحث چند اتحاد را را یاد آوری می کنم :
[math]{(x + y)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\\{(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\\{(x + y)^4} = {x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\\{(x + y)^5} = {x^5} + 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} + {y^5}[/math]
تا اینجای اتحادها ساده است اما سوال اساسی اینجاست که در توانهای بالاتر ما چگونه می توانیم ضرایب جمله های این اتحادها را حساب کنیم . اینجاست که ترکیبیات به ما کمک می کند و براحتی کار ما را راه میندازه ! خوب چطور ؟
من آخرین اتحاد از بالا رو انتخاب می کنم یعنی همون که توانش 5 هست و این رو با دید ترکیبیات تحلیل و بررسی می کنم .
[math] {(x + y)^5} = {x^5} + 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} + {y^5}[/math]
برای مثال در این اتحاد هر جمله می تواند به فرم[math]{x^a}{y^b} [/math] باشد بطوریکه [math]a+b=5[/math] است .
[math]a + b = 5 \to \left\{ \begin{array}{l}a = 5,b = 0 \to {x^5}{y^0} = {x^5}\\a = 4,b = 1 \to {x^4}{y^1}\\a = 3,b = 2 \to {x^3}{y^2}\\a = 2,b = 3 \to {x^2}{y^3}\\a = 1,b = 4 \to {x^1}{y^4} = x{y^4}\\a = 0,b = 5 \to {x^0}{y^5} = {y^5}\end{array} \right\}[/math]
من تمام حالتهای توانی را در بالا مورد بررسی قرار دادم اما می خواهم ضرایب آنها را حساب کنم ، من در محاسبه توانهای مشکلی ندارم بلکه می خواهم بدانم چگونه ضرایب آنها را حساب کنم بدون اینکه عمل ضرب را انجام دهم .
می دانیم که
[math] {(x + y)^5} = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)(x + y)[/math]
با توجه به ضرب بالا من یک جمله را انتخاب می کنم مثلا [math] {x^2}{y^3} [/math] من برای ساختن این جمله باید دوتا x از میان5 تا پرانتز بالا انتخاب کنم .سپس باید 3 تا y باقی مانده را از میان سه تا پرانتز باقی مانده انتخاب کنم . یعنی تعداد حالتهای انتخاب من :
نتیجه |
انتخاب 3 تا y از 3 پرانتز مانده |
انتخاب دوتا x از میان5 تا پرانتز |
[math] \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 3 \end{array}} \right) = 10 [/math] |
[math] \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\ 3 \end{array}} \right) [/math]
|
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 2 \end{array}} \right)[/math] |
ضریب جمله عدد 10 بدست آمد و اگر به اتحاد که در ابتدای مطلب گفتیم نگاه کنید می بینید که ضریب این جمله همان عدد 10 است . یعنی محاسبه ما درست بود .یعنی در واقع ما برای محاسبه بسط [math] {(x + y)^5} [/math] باید بدانیم که هر جمله بسط بر حسب x,y از درجه پنج می باشد یعنی باید کلیه عبارتهای [math] {x^a}{y^b} [/math] را که در آن [math]a+b=5[/math]] را بدست آوریم .
این جملات را در بالا مفصل توضیح دادم .
حالا برای بدست آوردن ضرایب هر جمله بسط [math]{x^a}{y^b} [/math] کافیست a تا x از میان 5 پرانتز انتخاب کنیم.تعداد این انتخابها برابر است با
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\a\end{array}} \right)[/math]
بعد از انتخاب x ها عملا b تا y باقی می ماند که به یک روش می توان آنها را انتخاب کرد بنابر این ضریب [math]{x^a}{y^b}[/math] برابر
[math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\a\end{array}} \right)[/math]
در نتیجه :
[math]{(x + y)^5} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\5\end{array}} \right){x^5} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\4\end{array}} \right){x^4}{y^1} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right){x^3}{y^2} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\2\end{array}} \right){x^2}{y^3} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\1\end{array}} \right){x^1}{y^4} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\0\end{array}} \right){y^5}[/math]
بحث در این مورد مفصل است اما من میخواهم بطور مختصر به اصل موضوع برسم .
قضیه دوجمله ای : اگر x و y دو متغیر باشند و n عددی صحیح و مثبت باشد آنگاه :
مثال1 : ضریب جمله [math]{x^5}{y^2} [/math] در [math] {x^5}{y^2} [/math] چه عددی است ؟
طبق قضیه دو جمله ای
[math]{x^5}{y^2} \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}7\\5\end{array}} \right) = \frac{{7!}}{{5!2!}} = \frac{{7 \times 6}}{2} = 21[/math]
مثال 2: ضریب [math]{a^3}{b^8} [/math] را در عبارت [math] {(3a + 4b)^{11}} [/math] بدست آورید .
فرض کنید [math]X=3a[/math] و [math]Y=4b[/math] باشد پس جمله ای که شامل
[math] {a^3}{b^8} [/math] یعنی [math]{X^3}{Y^8} [/math] در عبارت
[math] {(X + Y)^{11}} [/math]
[math]\left\{ \begin{array}{l}{X^3}{Y^8}\\{(X + Y)^{11}}\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{11}\\3\end{array}} \right){X^3}{Y^8}\\X = 3a\\Y = 4b\end{array} \right\} \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{11}\\3\end{array}} \right)({3^3}{a^3})({4^8}{b^8}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{11}\\3\end{array}} \right){3^3}{4^8}{a^3}{b^8}[/math]