اصل جمع و شمارش
اصل جمع
امین قصد دارد بخاطر قبولی در امتحانات به دوستش پوریا شیرینی بدهد. او دو گزینه را به دوستش پوریا پیشنهاد می دهد. رستوران یا آب میوه فروشی
اگر به رستوران برود ،تنها یکی از 2 نوع غذای چلو خورشت قورمه سبزی و قیمه را می تواند انتخاب کند .و اگر به آب میوه فروشی برود ، تنها یکی از سه نوع آب میوه هویج ،سیب و پرتقال را می تواند انتخاب کند .
نهایتا قرار است کار مورد نظر فقط با یکی از شیوه ها انجام شود.
یا به رستوران برود یا به آب میوه فروشی.
[math]2+3=5[/math]
تنها 5 انتخاب دارد. در واقع پوریا از بین 5 گزینه بالا باید یکی را انتخاب کند .بحث ما اینجا این است که امین میخواهد دوستش را یا به رستوران و یا به آب میوه فروشی ببرد و پوریا باید از میان غذاها یا آب میوه ها فقط یکی را انتخاب کند.
اصل جمع
اگر بتوان کاری را به دو روش انجام داد ، بطوری که در روش اول [math]m[/math]انتخاب و در روش دوم [math]n[/math] انتخاب وجود داشته باشد برای انجام کار مورد نظر [math]m+n[/math] روش وجود دارد.
در واقع ما یک کار را می خواهیم با یکی از شیوه های انجام دهیم . مثلا در ابتدای مطلب مثال پوریا و دوستش امین که در اینجا امین فقط یکی از کارهای ((دعوت به رستوران یا دعوت به آب میوه فروشی )) را می تواند انتخاب کند.
نکته
اصل جمع بر خلاف اصل ضرب ، هر مرحله از مرحله دیگر مجزا است . در حالیکه در اصل ضرب هر مرحله به مرحله دیگر وابسته است.
مثال1 :شما بیرون از منزل هستید و مجبورید ناهار را از بیرون تهیه کنید. در اطراف شما یک رستوران ایرانی با 5 نوع غذا و یک فست فود با 3 نوع غذا وجود دارد . شما به چند طریق می توانید غذای امروز خود را تهیه کنید؟
خوب مسلما غذای ما یا رستوران ایرانی یا از فست فود تهیه خواهد شد ، اگر از رستوران ایرانی بخواهیم تهیه کنیم ما به 5 روش (5 حق انتخاب داریم) می توانیم این کار را انجام دهیم و اگر از فست فود تهیه کنیم ما به 3 روش (3 حق انتخاب داریم) می توانیم انجام دهیم پس جمعا روی هم رفته ما
[math]5+3=8[/math]
روش برای انجام این کار داریم.
مثال 2:کتابخانه مدرسه ای 20 کتاب درسی درباره ریاضی و 30 کتاب درسی در باره زیست شناسی دارد. بنابر قاعده حاصل جمع، دانش آموزی که در این مئرسه تحصیل می کند، به منظور فراگیری بیشتر درباره این یا آن موضوع، می تواند بین 2+30=50 کتاب درسی انتخاب به عمل آورد.
تعمیم اصل جمع
روش وجود دارد.
در واقع استفاده از اصل جمع، همان تقسیم مسئله به حالتهای مختلف یا حالتبندی است. هر کجا میخواهیم حالتبندی کنیم، در واقع داریم از اصل جمع استفاده میکنیم.
مثال: چند عدد ۲ رقمی زوج با ارقام متمایز داریم؟
برای اینکه عدد زوج باشد رقم یکان باید زوج باشد یعنی یکی از اعداد
[math] \left\{ {0,2,4,6,8} \right\}[/math]
پس در واقع برای رقم یکان ما 5 انتخاب داریم . اما برای انتخاب رقم دهگان باید دقت کنیم چرا که دهگان نمی تواند عدد 0 باشد اگر رقم یکان ما صفر باشد آنگاه رقم دهگان ما 9 حالت خواهد بود به صورت زیر:
[math]10,20,30,40,50,60,70,80,90[/math]
اما اگر رقم یکان ما صفر نباشد رقم دهگان ما 8 حالت خواهد داشت (صفر نمی تواند دهگان باشد) یعنی اینکه در این حالت رقم یکان یکی از اعداد
[math] \left\{ {2,4,6,8} \right\}[/math]است و رقم یکان 4 حالت دارد.
پس اینجا باید از اصل جمع استفاده کنیم و حالتبندی کنیم. پس اعداد را به ۲ دسته تقسیم میکنیم:
1-رقم یکان صفر باشد: در این حالت رقم دهگان ۹ حالت دارد. پس تعداد اعداد این حالت 9×1=9
است.
2-رقم یکان غیر صفر باشد: در این حالت رقم یکان ۴ حالت دارد و رقم دهگان ۸ حالت دارد. پس تعداد اعداد این حالت 8×4=32 است.
پس در کل طبق اصل جمع، پاسخ برابر 9+32=41 است.
10
12 14 16 18 20
22 24 26 28 30
32 34 36 38 40
42 44 46 48 50
52 54 56 58 60
62 64 66 68 70
72 74 76 78 80
82 84 86 88 90
92 94 96 98
در جدول بالا تمام این اعداد دو رقمی را نشان داده این دقت کنید اعداد قرمز رنگ به دلیل تکرار دو رقم در این مثال حساب نشده اند .اعداد آب رنگ هم اعدادی هستند که در حالت اول محاسبه شده اند.
مثال : از میان سه نفر روسی ،4 نفر قرانسوی ،5 آلمانی ، به چند روش می توانیم 2 نماینده انتخاب کنیم به شرطی که نماینده ها از ملیت های مختلف باشند.
ابتدا به تعدادی از حالتهای ممکن انتخاب 2 نماینده توجه کنید:
{فرانسوی ،روسی } ، {فرانسوی ،آلمانی}،{روسی ،آلمانی} ما اینجا سه مجموعه دو به دو مجزا داریم:
مجموعه اول بنا بر اصل ضرب : {آلمانی،روسی}
[math]3 \times 5 = 15[/math]
مجموعه دوم بنابراصل ضرب {فرانسوی،آلمانی}
[math]5 \times 4 = 20[/math]
مجموعه سوم بنابراصل ضرب {فرانسوی،روسی}
[math]3\times 4 = 12[/math]
در نتیجه بنابراصل جمع تعداد حالتهای مختلف انتخاب 2 نماینده از جمع حالتهای بالا بدست می آید .
[math]15+20+12=47[/math]
از دو مثال بالا مشاهده کردیم که بکار بردن اصل جمع به تنهایی چندان سخت نیست اما همیشه این چنین نیست . در بیشتر مساله ها اصل جمع به همراه اصل ضرب بکار برده می شود ، در این گونه موارد باید دقت بیشتری در بکار بردن این اصل ها داشته باشیم .