مثالهای حل شده انتگرال گیری جانشانی

در این پست چند نمونه سوال و تمرین از روش انتگرال گیری جانشانی برای شما آماده کرده ایم:

قبل از مطالعه تمرینهای حل شده نگاهی داشته باشید به یادآوری زیر

به طور کلی روش انتگرال گیری با تعویض متغیر به ترتیب زیر محاسبه می شود:

مرحله 1:ابتدا یک تغییر متغیر مانند [math]u=g(x)[/math] انتخاب مي كنيم . معمولا برای این کار تابع داخلی یک تابع مرکب را U فرض مي كنيم مثلا در عباراتی مانند [math]\sqrt {2x – 1}[/math] تابع داخلی ما [math]2x-1[/math] است .  و یا در عبارتی مانند [math]{\sin ^3}x[/math] تابع داخلی ما [math]sinx[/math] است .

مرحله 2 : [math]du = g'(x)dx[/math] را محاسبه می کنیم .

مرحله 3:باید تمام تابع زیر نماد انتگرال را بر حسب u بدست آوریم .یعنی انتگرال را به شکل [math]\int {f(u)du}[/math] در آوریم.

مرحله 4:انتگرال حاصل شده مرحله قبل را حساب کنید.

مرحله 5: به جای u عبارت [math]g(x)[/math] را قرار می دهیم ،و به این ترتیب جواب نهایی را بر حسب x مي نویسیم.

 

سؤال 1

[math]\begin{array}{l} \int {(\frac{{{x^2}}}{{{x^3} + 1}}} )dx =?\\ \end{array}[/math]

 [math]\int {(\frac{{{x^2}}}{{{x^3} + 1}}} )dx = \frac{1}{3}\int {(\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}} )dx[/math]

[math] u = {x^3} + 1 \\ [/math]	مرحله 1
[math]du = 3{x^2}dx[/math]	مرحله 2
[math] \frac{1}{3}\int {(\frac{1}{u}} )du[/math]	مرحله 3
[math]\frac{1}{3}\int {(\frac{1}{u}} )du = \frac{1}{3}\ln \left| u \right| + c[/math]	مرحله 4
[math] \frac{1}{3}\ln \left| {{x^3} + 1} \right| + c[/math]	مرحله 5

جواب

[math]\int {(\frac{{{x^2}}}{{{x^3} + 1}}} )dx = \frac{1}{3}\int {(\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}} )dx \\u = {x^3} + 1 \\ du = 3{x^2}dx \\ \frac{1}{3}\int {(\frac{1}{u}} )du = \frac{1}{3}\ln \left| u \right| + c \\ \frac{1}{3}\ln \left| {{x^3} + 1} \right| + c \\ \\ \\ [/math]

---

سؤال 2

[math]\begin{array}{l} \int {5{{\sin }^4}} (x)\cos (x)dx \\ \end{array}[/math]

[math]u = \sin x[/math]	مرحله 1
[math]du = \cos xdx[/math]	مرحله 2
[math] \int {5{{\sin }^4}} (x)\cos (x)dx = \int {5{u^4}} du [/math]	مرحله 3
[math]\int {5{u^4}} du = {u^5} + c [/math]	مرحله 4
[math]= {\sin ^5}x + c[/math]	مرحله 5

جواب

[math]\begin{array}{l} u = \sin x \\ du = \cos xdx \\ \int {5{{\sin }^4}} (x)\cos (x)dx = \int {5{u^4}} du = {u^5} + c \\  = {\sin ^5}x + c \\ \\ \\ \end{array}[/math]

 

---

سؤال 3

[math]\begin{array}{l}\int {x\sin ({x^2}} )dx \\ \end{array}[/math]

[math] u = {x^2}[/math]	مرحله 1
[math] du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2} [/math]	مرحله 2
[math]\int {x\sin ({x^2}} )dx = \int {\sin u.} \frac{{du}}{2}[/math]	مرحله 3
[math]= \int {\sin u.} \frac{{du}}{2} =  – \frac{1}{2}\cos u + c[/math]	مرحله 4
[math] – \frac{1}{2}\cos {x^2} + c [/math]	مرحله 5

جواب

[math]\begin{array}{l}u = {x^2} \\du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2} \\\int {x\sin ({x^2}} )dx = \int {\sin u.} \frac{{du}}{2} =  – \frac{1}{2}\cos u + c =  – \frac{1}{2}\cos {x^2} + c \\\\\\\end{array}[/math]

---

سؤال 4

[math]\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{{x^2}{{(1 + \frac{1}{x})}^2}}}} dx \\ \end{array}[/math]

[math]u = 1 + \frac{1}{x}[/math]	مرحله 1
[math]du = (1 + \frac{1}{x})’dx =  – \frac{1}{{{x^2}}}dx[/math]	مرحله 2
[math]\int {\frac{1}{{{x^2}{{(1 + \frac{1}{x})}^2}}}} dx =  – \int {\frac{1}{{ – {x^2}{{(1 + \frac{1}{x})}^2}}}} dx =  – \int {\frac{1}{{{u^2}}}} du[/math]	مرحله 3
[math] =  – \int {{u^{ – 2}}} du =- \frac{{{u^{ – 2 + 1}}}}{{ – 2 + 1}} + c = {u^{ – 1}} + c[/math]	مرحله 4
[math]{(1 + \frac{1}{x})^{ – 1}} + c[/math]	مرحله 5

جواب

[math]\begin{array}{l} u = 1 + \frac{1}{x} \Rightarrow du = (1 + \frac{1}{x})’dx =  – \frac{1}{{{x^2}}}dx \\\int {\frac{1}{{{x^2}{{(1 + \frac{1}{x})}^2}}}} dx =  – \int {\frac{1}{{ – {x^2}{{(1 + \frac{1}{x})}^2}}}} dx =  – \int {\frac{1}{{{u^2}}}} du =  – \int {{u^{ – 2}}} du =  \\  – \frac{{{u^{ – 2 + 1}}}}{{ – 2 + 1}} + c = {u^{ – 1}} + c = {(1 + \frac{1}{x})^{ – 1}} + c \\  \\ \\ \end{array}[/math]

---

سؤال 5

[math]\begin{array}{l} \int {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx \\ \end{array}[/math]

[math]u = {x^3}[/math]	مرحله 1
[math]du = 3{x^2}dx[/math]	مرحله 2
[math]\int {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx = \int {\frac{1}{3}} {e^{{x^3}}}3{x^2}dx = \int {\frac{1}{3}} {e^u}du [/math]	مرحله 3
[math]\int {\frac{1}{3}} {e^u}=\frac{1}{3}{e^u} + c [/math]	مرحله 4
[math] \frac{1}{3}{e^{{x^3}}} + c[/math]	مرحله 5

جواب

[math]\begin{array}{l}u = {x^3} \\du = 3{x^2}dx \\ \int {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx = \int {\frac{1}{3}} {e^{{x^3}}}3{x^2}dx = \int {\frac{1}{3}} {e^u}du = \frac{1}{3}{e^u} + c \\ = \frac{1}{3}{e^{{x^3}}} + c \\\end{array}[/math]

---

 

سوال 6

[math]\int {\frac{{\sin x}}{{1 – \cos x}}}[/math]

[math]u = 1 – \cos x[/math]	مرحله 1
[math]du =  – ( – \sin x)dx = \sin x[/math]	مرحله 2
[math]\int {\frac{{\sin x}}{{1 – \cos x}}dx}  = \int {\frac{{du}}{u}}[/math]	مرحله 3
[math]\int {\frac{{du}}{u}}  = \ln \left| u \right| + C[/math]	مرحله 4
[math]\ln \left| {1n\cos x} \right| + C[/math]	مرحله 5

 

جواب :

[math]\int {\frac{{\sin x}}{{1 – \cos x}}} \\u = 1 – \cos x \to du =  – ( – \sin x)dx = \sin x\\\int {\frac{{\sin x}}{{1 – \cos x}}dx}  = \int {\frac{{du}}{u}}  = \int {\frac{{du}}{u}}  = \ln \left| u \right| + C\\ = \ln \left| {1n\cos x} \right| + C[/math]

---

 

سوال 7

[math]\int {\frac{{\cos x}}{{\sqrt {2 + \sin x} }}} dx[/math]

[math]u = 2 + \sin x[/math]	مرحله 1
[math]du = \cos xdx[/math]	مرحله 2
[math]\int {\frac{{\cos x}}{{\sqrt {2 + \sin x} }}} dx = \int {\frac{{du}}{{\sqrt u }}}[/math]	مرحله 3
[math]\int {\frac{{du}}{{\sqrt u }}}  = \int {{u^{ – \frac{1}{2}}}} du = 2{u^{\frac{1}{2}}} + c[/math]	مرحله 4
[math]2\sqrt {2 + \sin x}  + C[/math]	مرحله 5

 

جواب

[math]u = 2 + \sin x \to du = \cos xdx\\\int {\frac{{\cos x}}{{\sqrt {2 + \sin x} }}} dx = \int {\frac{{du}}{{\sqrt u }}}  = \int {\frac{{du}}{{\sqrt u }}}  = \int {{u^{ – \frac{1}{2}}}} du = 2{u^{\frac{1}{2}}} + c\\= 2\sqrt {2 + \sin x}  + C[/math]

---

سوال 8

[math]\int {\frac{{x\arccos {x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^4}} }}} dx[/math]

[math]u = \arccos {x^2}[/math]	مرحله 1
[math]du = \frac{{ – 2x}}{{\sqrt {1 – {x^4}} }}dx \to \frac{{ – du}}{2} = \frac{{xdx}}{{\sqrt {1 – {x^4}} }}[/math]	مرحله 2
[math]\int {\frac{{x\arccos {x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^4}} }}} dx = \int {u(\frac{{ – du}}{2})}[/math]	مرحله 3
[math]- \frac{1}{4}{u^2} + c[/math]	مرحله 4
[math]- \frac{1}{4}{(\arccos {x^2})^2} + C[/math]	مرحله 5

 

جواب

[math]u = \arccos {x^2} \to du = \frac{{ – 2x}}{{\sqrt {1 – {x^4}} }}dx \to \frac{{ – du}}{2} = \frac{{xdx}}{{\sqrt {1 – {x^4}} }}\\\int {\frac{{x\arccos {x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^4}} }}} dx = \int {u(\frac{{ – du}}{2})}  =  – \frac{1}{4}{u^2} + c\\ =  – \frac{1}{4}{(\arccos {x^2})^2} + C[/math]