قضیه حد توابع کراندار

توابع کراندار

ابتدا مختصری در مورد توابع کراندار توضیح می دهم یعنی توابعی که محدود هستند .به تعبیری دیگر توابعی هستند که به ازای ورودیهای مختلف ، خروجیهای محدودی دارند .و به تعبیر ریاضی برد این توابع محدود است.

تعریف ریاضی :

تابع [math] f:A \to B[/math]را روی مجموعه Aکراندار گوییم هر گاه عدد حقیقی K>0 وجود داشته باشد بطوریکه به ازای هر [math]x\in A[/math]

داشته باشیم :[math]\left | f(x) \right |\leqslant K[/math]

به عبارت دیگر برد تابع ، مجموعه ای کراندار (محدود) باشد.

همچنین اگر نمودار تابع را رسم کنیم می بینیم که روی محور Y  ها بين در مقدار بالا و پایین محدود است ، و همواره

[math]N\leq f(x)\leq M[/math]می باشد.

مثل توابع [math]sin,cos[/math]  که توابع کرانداری هستند. و همواره می دانیم که :

[math]f(x) = \sin x \Rightarrow  – 1 \le \sin x \le 1 \\ f(x) = \cos x \Rightarrow  – 1 \le \cos x \le 1 \\[/math]

همچنین اگر نمودار این دو تابع را رسم کنیم خواهیم دید که روی محور y  ها کاملا محدود هستند .

خواص توابع کراندار

1-اگر توابع [math]f,g[/math] هر کدام روی مجموعه A کراندار باشند ، آنگاه [math]f+g[/math]،[math]f.g[/math] و همچنین [math]Kf(x)[/math]  نیز کراندار می باشند ، اما در مورد تقسیم یعنی [math] \frac{{f(x)}}{{g(x)}}[/math]  زمانی کراندار است که [math]f(x)[/math] و [math] \frac{{1}}{{g(x)}}[/math]  کراندار باشند.

2-ممکن است ،[math]f.g[/math] و همچنین [math] \frac{{f(x)}}{{g(x)}}[/math]  کراندار باشند ، اما f  یا g  و يا هر در کراندار نباشند .

مثلا : [math] f(x) = \tan (x),g(x) = \cot (x)[/math] هر دو در بازه [math] \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right][/math] کراندار نیستند اما ضرب آنها کراندار است :

[math] \tan x \times \cot x = 1[/math]

3-اگر [math]f(x)[/math] تابعی کراندار باشد و[math]g(x)[/math]  تابعی دلخواه باشد ،آنگاه [math]f(g(x))[/math] نیز کراندار است .

مثلا : [math]f(x)=sinx[/math] یک تابع کراندار است .[math]g(x)[/math]یک تابع دلخواه باشد آنگاه خواهیم داشت که :

[math]f(g(x))=sin(g(x))[/math]

نیز یک تابع کراندار است .

اکنون پس از این مقدمه در مورد توابع کراندار به قضیه حد توابع کراندار می رسیم که این قضیه در اصل نتیجه قضیه فشردگی (ساندویچی) است .

قضیه حد توابع کراندار : اگر تابع [math]f[/math] در همسایگی محذوف نقطه [math]x=a[/math] کراندار باشد

   [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0[/math] باشد آنگاه [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x).f(x) = 0[/math]

به بیان دیگر : صفر حدی [math] \times [/math]  تابع کراندار = صفر حدی

مثال : حد تابع [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \frac{1}{x} [/math]  را با توجه به قضیه توابع کراندار حساب کنید.

مشخص است که اینجا تابع سینوس کراندار است وحد  تابع ایکس به توان 2 برابر صفر است است پس حد تابع فوق ما برابر صفر خواهد شد.

برای دیدن تمام مطالب مربوط به حث حد (جزوه کامل آموزش حد توابع ) کلیک کنید