قضیه حد توابع کراندار
توابع کراندار
ابتدا مختصری در مورد توابع کراندار توضیح می دهم یعنی توابعی که محدود هستند .به تعبیری دیگر توابعی هستند که به ازای ورودیهای مختلف ، خروجیهای محدودی دارند .و به تعبیر ریاضی برد این توابع محدود است.
تعریف ریاضی :
تابع [math] f:A \to B[/math]را روی مجموعه Aکراندار گوییم هر گاه عدد حقیقی K>0 وجود داشته باشد بطوریکه به ازای هر [math]x\in A[/math]
داشته باشیم :[math]\left | f(x) \right |\leqslant K[/math]
به عبارت دیگر برد تابع ، مجموعه ای کراندار (محدود) باشد.
همچنین اگر نمودار تابع را رسم کنیم می بینیم که روی محور Y ها بين در مقدار بالا و پایین محدود است ، و همواره
[math]N\leq f(x)\leq M[/math]می باشد.
مثل توابع [math]sin,cos[/math] که توابع کرانداری هستند. و همواره می دانیم که :
[math]f(x) = \sin x \Rightarrow – 1 \le \sin x \le 1 \\ f(x) = \cos x \Rightarrow – 1 \le \cos x \le 1 \\[/math]
همچنین اگر نمودار این دو تابع را رسم کنیم خواهیم دید که روی محور y ها کاملا محدود هستند .
خواص توابع کراندار
1-اگر توابع [math]f,g[/math] هر کدام روی مجموعه A کراندار باشند ، آنگاه [math]f+g[/math]،[math]f.g[/math] و همچنین [math]Kf(x)[/math] نیز کراندار می باشند ، اما در مورد تقسیم یعنی [math] \frac{{f(x)}}{{g(x)}}[/math] زمانی کراندار است که [math]f(x)[/math] و [math] \frac{{1}}{{g(x)}}[/math] کراندار باشند.
2-ممکن است ،[math]f.g[/math] و همچنین [math] \frac{{f(x)}}{{g(x)}}[/math] کراندار باشند ، اما f یا g و يا هر در کراندار نباشند .
مثلا : [math] f(x) = \tan (x),g(x) = \cot (x)[/math] هر دو در بازه [math] \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right][/math] کراندار نیستند اما ضرب آنها کراندار است :
[math] \tan x \times \cot x = 1[/math]
3-اگر [math]f(x)[/math] تابعی کراندار باشد و[math]g(x)[/math] تابعی دلخواه باشد ،آنگاه [math]f(g(x))[/math] نیز کراندار است .
مثلا : [math]f(x)=sinx[/math] یک تابع کراندار است .[math]g(x)[/math]یک تابع دلخواه باشد آنگاه خواهیم داشت که :
[math]f(g(x))=sin(g(x))[/math]
نیز یک تابع کراندار است .
اکنون پس از این مقدمه در مورد توابع کراندار به قضیه حد توابع کراندار می رسیم که این قضیه در اصل نتیجه قضیه فشردگی (ساندویچی) است .
قضیه حد توابع کراندار : اگر تابع [math]f[/math] در همسایگی محذوف نقطه [math]x=a[/math] کراندار باشد
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0[/math] باشد آنگاه [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x).f(x) = 0[/math]
به بیان دیگر : صفر حدی [math] \times [/math] تابع کراندار = صفر حدی
مثال : حد تابع [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \frac{1}{x} [/math] را با توجه به قضیه توابع کراندار حساب کنید.
مشخص است که اینجا تابع سینوس کراندار است وحد تابع ایکس به توان 2 برابر صفر است است پس حد تابع فوق ما برابر صفر خواهد شد.
برای دیدن تمام مطالب مربوط به حث حد (جزوه کامل آموزش حد توابع ) کلیک کنید
ممنون،کمک کرد
ممنون توضیحات خوبی بود
ممنون خلاصه بود نسبتا
دستت درد نکنه
خلاصه و مفید و قابل فهم
عالی ممنون ❤️