توابع متناوب و دوره تناوب
توابع متناوب و دوره تناوب
شاید به شهر بازی رفته باشید و گذرتان به چرخ و فلک افتاده باشد ، اگر سوار چرخ و فلکه شده باشید حتما متوجه یه نکته شده اید که موقعیت شما بعد از هر زمان ثابت تکرار می شود ، به تعبیری دیگر مثلا چرخ و فلک هر 5 دقیقه یک دور کامل را طی می کند و شما ، ممکن است پنج دور کامل در چرخ و فلک باشید ،خوب آیا از خودتان پرسیده اید که چگونه می توان این حرکت تکراری چرخ و فلک را به زبان ریاضی بیان کنیم ، جواب خیلی ساده است ،اینجا شما با یک تابع متناوب سر وکار دارید تابعی که ممکن است نشان دهنده یک حرکت رفت و برگشتی منظمی باشد که بعد از هر رفت و برگشت مجددا همان حرکت تکرار می شود و یا دورانی باشد که دائما در حال تکرار است .حرکت پاندول ساعت ،حرکت زمین به دور خورشید ویا حرکت چرخ و فلکی که دائما به همان شکل در حال تکرار هستند ، که از نظر نموداری تابعی متناوب هستند .اکنون با این مقدمه تعریف تابع متناوب را از نظر ریاضی ارائه می دهیم.
تعریف تابع متناوب
فرض کنیم [math] f[/math] یک تابع با دامنه [math] {D_f}[/math] باشد ، این تابع را متناوب می گوییم هر گاه عدد یا پارامتر [math]T[/math] را به گونه ای یافت که :
1)به ازای هر [math] x \in {D_f}[/math] ،[math]x+T,x-T[/math] در دامنه [math] {D_f}[/math] باشند.
2)به ازای هر [math] x \in {D_f}[/math] داشته باشیم که : [math]f(x+T)=f(x)[/math]
که در اینصورت [math]T[/math] را یک دوره متناوب [math]f[/math] می گویند.
پس از مقدمه کوتاه و ارائه تعریف تابع متناوب ، اکنون برای فهم بهتر مطلب ،ابتدا ساده ترین توابع متناوب را بررسی می کنیم این دو تابع همان [math]sin,cos[/math] هستند .رفتار این دو تابع بر یک دایره به شعاع واحد را بررسی می کنیم ، می دانیم که عمده ترین مقادیری که این دو تابع بر روی دایره می گیرند مطالبق جدول زیر است .
ما می خواهیم رفتار این زاویه را برروی محور [math]y[/math] بررسی کنیم یعنی نموداری داشته باشیم که محور [math]x[/math] های آن بر حسب زاویه باشد . ابتدا تابع [math]sin[/math] را بررسی می کنیم . به شکل زیر دقت کنید ، همانطور که می بینید به ازای هر مقداری که سینوس می گیرد معادل آن را روی محور نمایش داده ایم ، می بینیم که در ربع اول دایره مثلثاتی چه اتفاقی می افتد
در شکل بالا ما از نقطه صفر روی دایره شروع می کنیم و به ازاری مقادیری که زاویه در ربع اول دایره می گیرد آن را روی محور مختصات نمایش می دهیم . خوب آنچه که در شکل بالا دیدیم فقط در ربع اول دایره بود . خوب اگر یک دوره کامل دایره را طی کنیم ، مقادیر تابع سینوس روی محور مختصات چگونه خواهد بود . شکل زیر نمایش حاصل از یک دوره کامل سینوس دور یک دایره را نشان می دهد.
و برای فهم بهتر موضوع انیمشین زیر را ببیند که چگونه تغییرات زاویه سینوس روی دایره ،را می توان بر روی محور مختصات نمایش داد .
در حالت بالا ما فقط یک دور ، دور دایره چرخیدیم ، و نتیجه ان را دیدیم ، اما برای تابع سینوس هر چند دور دیگر هم بخواهیم دور دایره بچرخیم ، باز میزان تغییرات آن همان خواهد بود و نمودار آن برروی محور مختصات عینا تکرار خواهد شد. و همچنین برای کسینوس نیز مشابه همین حالت خواهد بود به شکل زیر دقت کنید
در شکل زیر ببینید که نمودار همه سینوس ها یکسان است .
حالا فرض کنید [math]Cos2x[/math] را در نظر می گیریم در شکل زیر کسینوس را به ازای مقادیر مختلف ببینید:
اگر به شکل بالا دقت کنید متوجه شدیم که دوره تناوب سینوس و کسینوس برابر است با [math] 2\pi [/math] یک دور کامل دایره است . از طرفی به ازای هر x از دامنه f داریم :
[math] f(x + 2\pi ) = \cos (x + 2\pi ) = \cos x = f(x) [/math]
و این نتیجه می دهد که تابع کسینوس هم متناوب است و دوره تناوب آن همان [math] 2\pi [/math] است . البته مقادیر [math] – 4\pi , – 2\pi ,…,2k\pi ,6\pi ,4\pi [/math] هر کدام ازآنها نیز می تواند دوره تناوب تابع کسینوس باشند اما ما کوچکترین مقدار مثبت را در این مثال در نظر می گیریم.
اکنون یک پله بالاتر می رویم و حالتی کلی سینوس را بررسی می کنیم که اگر تابع ما بصورت
[math] y = \sin 2x [/math]
خوب شرایط متناوب بودن را برای آن بررسی می کنیم :
[math]f(x + T) = \sin 2(x + T) = f(x) = \sin 2x \\ \sin (2x + 2T) = \sin 2x \\2x + 2T = 2k\pi + 2x \to T = k\pi \\[/math]
همچنین به نمودار تابع مطابق شکل زیر دقت کنید که :
دوره تناوب تابع برابر است با [math] \pi [/math] اما آنچه که تاکنون فهمیدیم که با هر مضربی که برای پارامتر سینوس قرار دادیم دوره تناوب آن نیز دستخوش تغییر شد .
الف)به طور کلی توابع مثلثاتی به صورت [math]y=aSin(bx+c)+d[/math] و [math]y=acos(bx+c)+d[/math] که در آنها [math]a,b,c,d[/math] اعداد حقیقی هستند توابعی متناوب با دوره تناوب [math]T = \frac{{2\pi }}{{|b|}}[/math] هستند.
ب) دوره تناوب اصلی توابع [math]y=tan(ax+b)[/math] و [math]y=Cot(ax+b)[/math] نیز برابر [math]T = \frac{{\pi }}{{|a|}}[/math] می باشد.
مثال 1:دوره تناوب تابع [math]f(x) = Cot(\frac{5}{4}x)[/math] را بدست آورید .
طبق گفته بالا دوره تناوب این تابع از روش [math]T = \frac{{\pi }}{{|a|}}[/math] بدست می آید پس :
[math]\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{4}\\T = \frac{\pi }{{|a|}}\end{array} \right\} \to T = \frac{\pi }{{\frac{5}{4}}} = \frac{{4\pi }}{5}\\[/math]
سوال : آیا توابع دارای جز صحیح مثلا [math] y = ax – [ax] [/math] متناوب است ؟
جواب : خوب از شرط متناوب بودن تابع می دانیم که این امر وابسته به شرطی است که بتواند عبارت دارای T را از داخل براکت خارج کند اینجا یک یاد آوری می کنیم که از خصوصیات جزء صحیح داشتیم که [math][x+a]=[x]+a[/math] و این تساوی وقتی برقرار است که a عددی صحیح باشد.
اکنون شرط تناوب را بررسی می کنیم .
[math]f\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}T} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }}\\
a\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}T} \right){\rm{ }} – {\rm{ }}\left[ {a\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}T} \right)} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}ax{\rm{ }} – {\rm{ }}\left[ {ax} \right]{\rm{ }}\\
ax{\rm{ }} + {\rm{ }}aT{\rm{ }} – {\rm{ }}\left[ {ax{\rm{ }} + {\rm{ }}aT} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}ax{\rm{ }} – {\rm{ }}\left[ {ax} \right]{\rm{ }}\\
aT{\rm{ }} – {\rm{ }}\left[ {ax{\rm{ }} + {\rm{ }}aT} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }} – {\rm{ }}\left[ {ax} \right]{\rm{ }}\\
\left[ {ax{\rm{ }} + {\rm{ }}aT} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}\left[ {ax} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}aT[/math]
اما تساوی اخیر فقط زمانی برقرار است که aT عددی صحیح باشد. پس اگر کوچکترین عدد مثبت ممکن را انتخاب کنیم :
[math]aT = 1 \to T = \frac{1}{a}[/math]
پس می توان نتیجه گرفت که دوره تناوب تابعی بصورت [math] y = ax – [ax] [/math] برابر با [math] = \frac{1}{|a|} [/math]
بحث در مورد دوره تناوب بسیار مفصل است اما ما اینجا جدولی را ارایه خواهیم داد که دوره تناوبی اکثر توابع را نمایش می دهد.
| دوره تناوب اساسی | تابع |
| [math]T = \frac{{2\pi }}{{|a|}}[/math] | [math]f(x) = {\sin ^{2n + 1}}(ax + b) \\f(x) = {\cos ^{2n + 1}}(ax + b)[/math] |
| [math]T = \frac{\pi }{{|a|}}[/math] | [math]f(x) = {\sin ^{2n}}(ax + b) \\f(x) = {\cos ^{2n}}(ax + b) \\f(x) = {\tan ^n}(ax + b) \\f(x) = \cot {g^n}(ax + b) \\[/math] |
| [math]T = \frac{\pi }{{|2a|}}[/math] | [math]f(x) = {\sin ^{2n}}(ax + b) + {\cos ^{2n}}(ax + b) \\f(x) = |\sin (ax + b)| + |\cos (ax + b)|[/math] |
| [math]T = \frac{1}{{|a|}}[/math] | [math]f(x) = ax – [ax],ax + [ – ax][/math] |
| [math]T = 2|a|[/math] | [math]f(x) = {( – 1)^{[\frac{x}{a}]}}[/math] |
نکته1 :
برای تعیین دوره تناوب توابع مثلثاتی که ضابطه آنها بصورت حاصلجمع یا تفاضل چند تابع متناوب باشد بصورت زیر عمل می کنیم
1-معادله را در حد امکان ساده می کنیم.
2-دوره تناوبهای جزئی(برای هر مورد) را پیدا می کنیم .
3-کوچکترین مضرب مشترک تناوبهای جزئی را بدست می آوریم.
مثال :دوره تناوب توابع زیر را بدست آورید .
[math]1)f(x) = \sin \frac{\pi }{3}x + \tan \frac{\pi }{2}x[/math]
[math]\left\{ \begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{3}x \to {T_1} = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6\\\tan \frac{\pi }{2}x \to {T_2} = \frac{\pi }{{\frac{\pi }{2}}} = 2\end{array} \right\} \Rightarrow T = [2,6] = 6[/math]
[math]2)f(x) = \cos 2x + \sin x + \sin 8x\\[/math]
[math]\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \to {T_1} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \\\sin x \to {T_2} = \frac{{2\pi }}{1} = 2\pi \\\sin 8x \to {T_3} = \frac{{2\pi }}{8} = \frac{\pi }{4}\end{array} \right\}[/math]
دوره تناوب این تابع برابر کوچکترین مضرب مشترک از بین [math]\left\{ {\pi ,2\pi ,\frac{\pi }{4}} \right\}[/math] می باشد پس جواب ما برابر [math]2\pi[/math]
نکته 2 : در تابع مرکب [math]fog[/math] اگر تابع g متناوب باشد آنگاه تابع [math]fog[/math] نیز متناوب خواهد بود و دوره تناوب آن برابر است با همان دوره تناوب g و یا کوچکتر از آن است .به عنوان مثال اگر دوره تناوب تابع [math]f(x)[/math] برابر با T باشد آنگاه دوره تناوب هر تابع مرکب با آن نیز همان خواهد بود این ترکیب می تواند هر یک از حالتهای زیر باشد . و در همه حالتهای زیر دوره تناوب برابر همان دوره تناوب تابع [math]f(x)[/math] یعنی T است.
[math]1)\sin (f(x)) \\2)\cos (f(x)) \\3)\tan (f(x)) \\4)\cot (f(x)) \\5)\log (f(x)) \\6)\sqrt {f(x)} \\7)kf(x) \\8)f{(x)^{2n + 1}} \\9)Arc\sin (f(x)) \\10)Arc\cos (f(x)) \\[/math]
تستهای کنکوری بخش
1-دوره تناوب تابع [math]f(x)=2x-[2x][/math] کدام است ؟ تست جامع سنجش تجربی 91)
1)صفر 2)یک دوم 3)1 4)
2-دوره تناوب تابع با ضابطه [math] f(x) = {( – 1)^{[x]}}.(x – [x]) [/math] کدام است ؟
1) 1 2)2 3)3 4)
3- دوره تناوب اصلی تابع با ضابطه [math]f(x)=tan3x-cot3x[/math] کدام است ؟ (کنکور سراسری –رشته ریاضی 88)
1)[math] \frac{\pi }{6} [/math]
2)[math] \frac{\pi }{2} [/math]
3)[math] \frac{\pi }{3} [/math]
4)[math] \pi [/math]
4-دوره تناوب تابع با ضابطه زیر کدام است ؟(کنکور سراسری رشته ریاضی 80)
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\sin }^2}\frac{\pi }{2}x} & {x \in Q} \\ 0 & {x \in Q} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
1)[math] 2\pi [/math] 2)2 3)4 4)[math] 4\pi [/math]
5-اگر [math]T>0[/math] و [math] f(x+T)=-f(x)[/math] باشد آنگاه دوره تناوب تابع کدام است ؟
1) 2T
2) T
3) T/2
4) تابع متناوب نیست
6-دوره تناوب تابع [math] y = {\sin ^2}\frac{{2\pi x}}{3} + {\cos ^2}\frac{{3\pi x}}{2} [/math] کدام است ؟
1)6 2)2 3)12 4)
7-دوره تناوب تابع [math] y = \frac{{Sinx – Sin5x}}{{Cosx – Cos5x}} – \frac{{Cosx – Cos5x}}{{Sinx – Sin5x}}[/math]
کدام است ؟
1)[math] \frac{\pi }{6} [/math]
2)[math] \frac{\pi }{3} [/math]
3)[math] \frac{2\pi }{3} [/math]
4)[math] \frac{\pi }{12} [/math]
8-برای رسم تابع [math] f(x) = \frac{{\sin \pi x}}{{\sin \frac{\pi }{2}x – \cos \frac{\pi }{2}x}} [/math] در یک دوره تناوب کدام یک از فواصل زیر است ؟
1)[-2,2] 2)[-2,1] 3)[-1,1] 4)تابع متناوب نیست
9-دوره تناوب اساسی تابع [math] f(x) = {( – 1)^{[\frac{x}{\pi }]}}Cosx [/math] برابر است با :
1) [math] \pi [/math] 2)[math]2 \pi [/math] 3)[math] 2[/math] 4)[math]4 [/math]
برای دیدن پاسخ تشریحی سوالات اینجا را کلیک کنید
خوب است
خیلی ممنون