رسم کلی نمودار توابع به کمک مشتق
رسم کلی نمودار توابع به کمک مشتق
ما د بخشهای قبلی در مورد رسم نمودار توابع به کمک انتقال مفصل توضیح دادیم .اما روش انتقال همیشه جوابگو نیست و ممکنه به این ساده گی هم نباشد.در این مطلب میخواهیم مراحل کلی رسم نمودار یک تابع به کمک مشتق را بررسی کنیم برای این کار مراحل زیر را باید انجام بدیم :
1-دامنه تابع را تعیین می کنیم.
2-باید ببینیم تابع متناوب است و در صورت متناوب بودن دوره تناوب آن را مشخص کنیم. این کمک می کند تا بخشی از نمودار تابع را بر روی برخی از زیر فاصله ها ترسیم کنید و سپس نتیجه را بازتاب دهید.
3- زوج ،فرد بودن تابع را بررسی می کنیم.تابع زوج نسبت به محور y ها قرینه است و تابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است.
4-محل تقاطع تابع با محور yها را حساب می کنیم یعنی [math]f(0)[/math] را با جایگزاری صفر به جای x در تابع محل تلاقی آن با محور y ها را حساب می کینم.
5-محل تلاقی تابع با محور x ها را حساب می کنیم یعنی [math]f(x)=0[/math] را حل می کنیم و مقادیر x را بدست می آوریم .
6-مجانب های تابع را در صورت وجود حساب می کنیم.
7-مشتق اول تابع را حساب می کنیم و با تعیین علامت آن صعودی یا نزولی بودن تابع و نقاط بحرانی و اکسترمم های نسبی تابع را مشخص می کنیم.
8-مشتق دوم تابع را حساب می کنیم و با تعیین علامت آن نقطه عطف تابع و جهت تقعر آن را مشخص می کنیم.
9-مقادیر تابع را در نقاط بحرانی ،عطف ، وابتدا و انتهای بازه داده شده حساب می کنیم.
10-با تشکیل جدول تغییرات تابع و قرار دادن اطلاعات بدست آمده از مراحل فوق در آن نمودار تابع را رسم می کنیم.
مثال 1:نمودار تابع [math] f(x) = {x^3} – 3x[/math] را رسم کنیم .
ابتدا دامنه تابع را بدست می آوریم .چون تابع ما چند جمله ای است و ما می دانیم که دامنه توابع چند جمله ای برابر [math]R[/math] است.
2-آیا تابع متناوب است .مشخص است که تابع متناوب نیست چون توابع چند جمله ای متناوب نیستند.
3-اکنون زوج و فرد بودن تابع را بررسی می کنیم در تابع به جای [math]x[/math] ،مقدار [math]-x[/math] را قرار می دهیم به عبارتی باید [math]f(-x)[/math] را حساب کنیم .
[math] f(x) = {x^3} – 3x \to f( – x) = {( – x)^3} – 3( – x) = – {x^3} + 3x\\ = – ({x^3} – 3x) = f( – x) = – f(x) [/math]
این تابع فرد است پس نمودار آن نسبت به محور مختصات متقارن است .
اکنون مرحله 4 و 5 محل تلاقی نمودار تابع با محورهای [math]x,y[/math] را بدست می آوریم.
محل برخورد با محور y ها :
[math] f(x) = {x^3} – 3x\\x = 0 \to f(0) = {0^3} – 3(0) = 0 [/math]
محل برخورد با محور x ها :
[math] f(x) = {x^3} – 3x\\f(x) = 0 \to {x^3} – 3x = 0 \to x({x^2} – 3) = 0\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3\end{array} \right\} [/math]
6-تابع مجانب ندارد.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = {x^3} – 3x = – \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {x^3} – 3x = + \infty \\\\ [/math]
7-مشتق اول تابع را بدست می اوریم و نقاط بحرانی و اکسترمم را مشخص می کنیم:
[math] f(x) = {x^3} – 3x \to f'(x) = 3{x^2} – 3\\f'(x) = 0 \to 3{x^2} – 3 = 0 \to 3{x^2} = 3 \to {x^2} = 1\\x = \pm 1 [/math]
نقاط بحرانی تابع را حساب کردیم اکنون باید ببنیم تابع در نقاط بحرانی چه مقداری دارد:
[math] \left\{ \begin{array}{l}f(x) = {x^3} – 3x\\x = 1\end{array} \right\} \to f(1) = – 2\\\\\left\{ \begin{array}{l}f(x) = {x^3} – 3x\\x = – 1\end{array} \right\} \to f( – 1) = 2 [/math]
مشتق دوم تابع را حساب می کنیم:
[math] f(x) = {x^3} – 3x \to f'(x) = 3{x^2} – 3\\f”(x) = 6x\\f”(x) = 0 \to x = 0 [/math]
مقدار تابع را در نقطه عطف حساب می کنیم:
[math] x = 0 \to f(x) = 0 [/math]
اکنون با این اطلاعات بدست امده جدول تعیین علامت را تشکیل می دهیم :
اکنون نمودار تابع را بر اساس جدول تعیین علامت بالا به صورت زیر رسم می کنیم :
نقاط [math] (- 1,2),(0,0),(1,- 2),(\sqrt 3 ,0),( – \sqrt 3 ,0) [/math] را مشخص می کنیم
نمو دار از ربع سوم آغاز می شود و در بازه [math] ( – \infty , – 1] [/math] با تقعر رو به پایین به نقطه [math] ( – \sqrt 3 ,0) [/math] و سپس تا نقطه [math](-1,2)[/math] صعود می کند و در این نقطه ماکسیمم نسبی دارد.
از نقطه [math](-1,2)[/math] با تقعر رو به پایین به نقطه [math](0,0)[/math] نزول می کند و در این نقطه عطف دارد.سپس از نقطه عطف با تقعر رو به بالا به نقطه [math](1,-2)[/math] نزول می کند و در این نقطه مینیمم نسبی دارد.
در بازه [math] [1, + \infty ) [/math] نمودار از نقطه [math](1,-2)[/math] با تقعر رو به بالا ابتدا به نقطه [math] (\sqrt 3 ,0) [/math] می رسد و سپس تا بی نهایت با همین روند صعود می کند.
مثال 2: نمودار تابع [math] f(x) = – x{(x + 2)^2} [/math] را بدست اورید.
1-دامنه تابع چند جمله ای [math]R[/math] است.
2-تابع متناوب نیست.
3-تابع نه زوج و نه فرد است.
4و 5-محل تقاطع تابع با محورها را بدست می آوریم .
با محور y ها:
[math] f(x) = – x{(x + 2)^2}\\x = 0 \to f(0) = 0 [/math]
با محور x ها:
[math] f(x) = – x{(x + 2)^2}\\f(x) = 0 \to – x{(x + 2)^2} = 0\\x = 0\\x = – 2 [/math]
6-مجانبی ندارد.
7-مشتق اول تابع و نقاط بحرانی و اکسترمم های نسبی
[math] f(x) = – x{(x + 2)^2}\\f'(x) = – {(x + 2)^2} – 2x(x + 2) = (x + 2)( – x – 2 – 2x)\\ = (x + 2)( – 3x – 2)\\f'(x) = 0 \to (x + 2)( – 3x – 2) = 0\\x + 2 = 0 \to x = – 2\\ – 3x – 2 = 0 \to x = – \frac{2}{3} [/math]
8-محاسبه مشتق دوم و نقاط عطف
[math] f(x) = – x{(x + 2)^2}\\f'(x) = (x + 2)( – 3x – 2)\\f”(x) = ( – 3x – 2) – 3(x + 2)\\f”(x) = 0 \to – 6x – 8 = 0 \to x = \frac{{ – 4}}{3} [/math]
9-مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و عطف بدست می آوریم :
[math] f(x) = – x{(x + 2)^2}\\x = – 2 \to f( – 2) = 0\\x = – \frac{4}{3} \to f( – \frac{4}{3}) = \frac{{16}}{{27}}\\x = – \frac{2}{3} \to f( – \frac{2}{3}) = \frac{{32}}{{27}} [/math]
جدول تعیین علامت را تشکیل می دهیم .
رسم نمودار