کاربرد مشتق 4–توابع صعودی و نزولی با استفاده از مشتق
1-تابع صعودی : اگر (f(x یک تابع حقیقی باشد این تابع به ازاي هر
[math] x_{1},x_{2} [/math]∈I
: يك بازه است) داشته باشيم I )
[math]x_{1}<x_{2}[/math]→[math]f(x_{1})[/math]≤[math] f(x_{2})[/math]
تابع فوق را اکیدا صعودی یا صعودی اکید گویند هر گاه
[math]x_{1}<x_{2}[/math]→[math]f(x_{1})[/math]<[math] f(x_{2})[/math]
سه نمودار تابع زیر دقت کنید این سه تابع اکیدا صعودی هستند چرا که در هیج جا [math]f(x_{1})[/math]،[math] f(x_{2})[/math] با هم برابر نمی شوند .
اما نمودار تابع زیر یک تابع صعودی است اما اکیدا صعودی نیست . چون [math]f(x_{1})[/math]،[math] f(x_{2})[/math] در برخی نقاط با هم برابر می شوند
2-تابع نزولی : اگر (f(x یک تابع حقیقی باشد این تابع به ازاي هر
[math] x_{1},x_{2} [/math]∈I
: يك بازه است) داشته باشيم I )
[math]x_{1}<x_{2}[/math]→[math]f(x_{1})[/math]≥[math] f(x_{2})[/math]
تابع فوق را اکیدا نزولی یا نزولی اکید گویند هر گاه
[math]x_{1}<x_{2}[/math]→[math]f(x_{1})[/math]>[math] f(x_{2})[/math]
*نکته : اگر تابع ما در یک بازه فقط صعودی یا فقط نزولی باشد می گوییم تابع در آن فاصله یکنوا است .
حالا این مقدمه بحث ما بود ما می خواهیم با استفاده از مشتق صعودی و نزولی بودن توابع را مشخص کنیم .تابع f در هر فاصله ای که مشتق آن مثبت باشد اکیدا صعودی و در هر فاصله ای که مشتق آن منفی باشد اکیدا نزولی است و در هر فاصله ای که مشتق برابر صفر باشد ثابت می گوییم . اما روش کار فهمیدن صعودی و نزولی بودن تابع به چه صورت است :
1-ابتدا مشتق تابع را محاسبه می کنیم .
2-ریشه های معادله مشتق را بدست می آوریم .
3-با استفاده از جدول تعیین علامت ، تابع را تعیین علامت می کنیم . تا نحوه صعودی و نزولی بودن تابع مشخص شود .
مثال حل شده :
همانطور که در مثال بالا می بینید تابع در نقطه x=1 مشتق آن منفی است پس تابع در این نقطه نزولی است اما تابع به ازای نقاط بزرگتر از 2 مشتق آن مثبت است پس تابع در بازه x>2 صعودی است .