نمونه سوالات مجموع دنباله های حسابی
درسنامه ها
تمرین 1 :مجموع بیست جمله اول دنباله حسابی زیر را بیابید .(امتحان حسابان دی ماه 91)
[math]-5,-3,-1,…[/math]
جواب :
برای جواب در گاه اول باید قدر نسبت این دنباله حسابی را حساب کنیم .
[math] d=a_{2}-a_{1}=-3-(-5)=2[/math]
سپس فرمول مجموعه دنباله حسابی را در نظر بگیرید
[math] {S_n} = \frac{n}{2}(2a{}_1 + (n – 1)d[/math]
20 | برابر بیست است طبق فرض مساله | [math]n[/math] |
2 | از نفاضل دو جمله بدست آوردیم | [math]d[/math] |
-5 | در مساله داده شده است | [math] a_{1}[/math] |
پس با توجه به داده های بالا و فرمول خواهیم داشت :
[math] {S_n} = \frac{n}{2}(2{a_1} + (n – 1)d \Rightarrow {S_{20}} = \frac{{20}}{2}(2{a_1} + 19d) = 10( – 10 + 38) = 280[/math]
تمرین 2 :در یک دنباله حسابی داریم [math] S_{n}=2n(n-1) [/math] می باشد،[math] a_{n} [/math] را بیابید .
طبق نکته ای که گفتیم
[math]{a_n} = {S_n} – {S_{n – 1}} = 2n(n – 1) – 2(n – 1)(n – 2)\\ = 2{n^2} – 2n – 2{n^2} + 6n – 4 = 4n – 4[/math]
تمرین 3:مجموع n جمله اول از یک دنباله حسابی به صورت [math] {S_n} = \frac{{n(n – 15)}}{6} [/math] است . در این دنباله مجموع جملات با شروع از جمله هفتم و ختم به جمله هجدهم کدام است ؟ (کنکور سراسری ریاضی خارج از کشور 90)
[math]1)9\\2)\frac{{29}}{3}\\3)\frac{{49}}{3}\\4)18\\[/math]
برای پیدا کردن مجموع جملات با شروع از جمله هفتم و ختم به جمله هجدهم کافیست مقدار
[math] {S_{18}} – {S_6} [/math]
را بدست آوریم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{S_{18}} = \frac{{18(18 – 15)}}{2} = 9\\{S_6} = \frac{{6(6 – 15)}}{2} = – 9\end{array} \right\} \to {S_{18}} – {S_6} = 9 – ( – 9) = 18[/math]
تمرین 4 :در یک دنباله حسابی [math] {S_{21}} = 210 [/math] جمبه یازدهم دنباله چند است ؟
می دانیم که فرم عمومی مجموع دنباله های حسابی بصورت زیر است :
[math]{S_n} = \frac{n}{2}(2{a_1} + (n – 1)d)[/math]
فرم جمله یازدهم در دنباله حسابی بصورت [math] {a_{11}} = {a_1} + 10d [/math] است پس داریم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{S_n} = \frac{n}{2}(2{a_1} + (n – 1)d)\\{a_{11}} = {a_1} + 10d\end{array} \right\} \to {S_{21}} = \frac{{21}}{2}(2a{}_1 + 20d) = 210 \Rightarrow \frac{{21}}{2} \times 2 \times ({a_1} + 10d) = 210\\\\= 21({a_1} + 10d) = 210[/math]
در مجموع بالا ما عبارت a + 10d را داریم که برابر همان عبارت جمله یازدهم است پس :
[math] 21({a_1} + 10d) = 210 \Rightarrow 21{a_{11}} = 210 \Rightarrow {a_{11}} = \frac{{210}}{{21}} = 10[/math]
تمرین 5:در دنباله حسابی [math]3,9,15,…[/math] حداقل چند جمله را باید جمع کنیم تا حاصل از 300 بیشتر شود (امتحان حسابان دی 93)
پاسخ :
ابتدا با توجه به دنباله داده شده فرم مجموع جملات دنباله را تا n بدست می آوریم :
می دانیم قدر نسبت اینجا
[math] d = {a_2} – {a_1} = 9 – 3 = 6[/math]
6 | d |
3 | [math] {a_1}[/math] |
نامعلوم و باید در همین مساله حسابش کنیم | n |
[math]{S_n} = \frac{n}{2}(2{a_1} + (n – 1)d) \to {S_n} = \frac{n}{2}(2 \times 3 + (n – 1) \times 6) = \frac{n}{2}(6 + 6n – 6) = 3{n^2}[/math]
از طرفی دیگر [math] {S_n}[/math] باید بزرگتر از 300 باشد پس :
[math]{S_n} > 300 \to 3{n^2} > 300 \to {n^2} > 100 \to n > 100[/math]
بنابر این باید حداقل 11 جمله از این دنباله را جمع کنیم تا حاصل بیشتر از 300 شود .
تمرین 6: مجموع n جمله یک دنباله حسابی برابر[math] {S_n} = {n^2} + 2n[/math] است .مجموع جملات هفتم و هشتم و نهم چقدر است ؟
از نکته ای که در درسنامه گفتیم می دانیم که : [math] {a_n} = {S_n} – {S_{n – 1}} [/math]
[math]{S_n} = {n^2} + 2n\\{a_n} = {S_n} – {S_{n – 1}} = {n^2} + 2n – \left[ {{{(n – 1)}^2} + 2(n – 1)} \right] = {n^2} + 2n – ({n^2} – 2n + 2n + 1 – 2) = 2n + 1\\\\{a_n} = 2n + 1 \to \left\{ \begin{array}{l}{a_7} = 2 \times 7 + 1 = 15\\{a_8} = 2 \times 8 + 1 = 17\\{a_9} = 2 \times 9 + 1 = 19\end{array} \right\} \to {a_7} + {a_8} + {a_9} = 15 + 17 + 19 = 51[/math]