حد گیری از توابع چند ضابطه ای
حد گیری از توابع چند ضابطه ای
اگر تابع بصورت چند ضابطه ای باشد و [math]x=a[/math] نقطه تفکیک ضابطه ها باشد . آنگاه در این نقطه باید حد چپ و راست را محاسبه کرد .
بطور کلی در توابع چند ضابطه ای منظور از علامت [math]x>a[/math] یعنی حد راست تابع در نقطه [math]a[/math] و منظور از علامت [math]x<a[/math] یعنی جد چپ در نقطه [math]a[/math] و بالاخره منظور از [math] x \ne a[/math] یعنی هم حد راست و هم حد چپ تابع را در این ضابطه باید چیدا کنیم.
مثال 1:حد تابع چند ضابطه ای زیر را در [math]x=2[/math]محاسبه کنید.
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 3} & : & {x > 2} \\ 5 & : & {x = 2} \\ {x – 1} & : & {x < 2} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
جواب:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + 3) = 2 + 3 = 5 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} (x – 1) = 2 – 1 = 1 \\[/math]
چون حد چپ و راست برابر نیستند پس حد تابع موجود نیست .
مثال 2: حد تابع چند ضابطه ای زیر را در [math]x=1[/math]محاسبه کنید.
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1} & {x \ge 1} \\ {\frac{1}{x}} & {x < 1} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
حد چپ راست را محاسبه می کنیم.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2x + 1) = 2 + 1 = 3 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1 \\[/math]
چون حد چپ و راست برابر نیستند پس تابع حد ندارد.
مثال 3: حد تابع چند ضابطه ای زیر را در [math]x=0[/math]محاسبه کنید.
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{x – |x|}}{x}} & {x \ne 0} \\ a & {x = 0} \\\end{array}} \right\} \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{x – |x|}}{x} = \frac{{x – ( – x)}}{x} = \frac{{2x}}{x} = 2 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x – |x|}}{x} = \frac{{x – x}}{x} = \frac{0}{x} = 0 \\[/math]
چون حد چپ وراست برابر نیستند پس تابع ما حد ندارد.