انتگرال توابع مثلثاتی ساده با استفاده از جدول انتگرال
انتگرال توابع مثلثاتی ساده با استفاده از جدول انتگرال
در این بخش می خواهم در مورد انتگرال توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس و بقیه صحبت کنیم ،ما فهمیدیم که انتگرال و مشتق عکس هم هستند پس به سادگی و از فرمولهای مشتق توابع مثلثاتی خواهیم داشت که :
[math]y = \sin x \to y’ = \cos x\\y = \cos x \to y’ = – \sin x[/math]
خوب می دانیم که انتگرال معکوس مشتق است پس :
[math]\int {\sin xdx = – \cos x + c} \\\int {\cos xdx = \sin x + c}[/math]
اکنون قبل از ارائه دیگر فرمولهای انتگرالهای مثلثاتی بهتره یه نگاه دوباره و یادآوری به فرمولهای پرکاربرد مثلثاتی بندازیم تا در انتگرالها بتوانیم از انها به راحتی استفاده کنیم ، دقت کنید که دانستن ارتباطات و تبدیلات مثلثاتی و نسبتهای مثلثاتی برای حل انتگرال توابع مثثاتی بسیار مهم است .
اکنون پس از یادآوری فرمولهای مثلثاتی بالا چند مثالی را با هم مرور می کنیم :
مثال 1: انتگرالهای مثلثاتی زیر را حل کنید :
[math]a)\int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}}dx}[/math]
برای حل این انتگرال می دانیم که [math]\sin 2x = 2\sin x\cos x[/math] پس انتگرال ما به صورت زیر خواهد شد:
[math]\int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}}dx} = \int {\frac{{2\sin x\cos x}}{{\cos x}}dx} = \int {2\sin xdx = 2\int {\sin xdx = – 2\cos x + c} }[/math]
[math]b)\int {\frac{{1 + \sin 2x}}{{\sin x + \cos x}}dx}[/math]
از روابط مثلثاتی که در بالا گفتیم می دانیم که [math]1 + \sin 2x = {(\sin x + \cos x)^2}[/math] پس انتگرال ما به صورت زیر خواهد شد :
[math]\int {\frac{{1 + \sin 2x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = \int {\frac{{{{(\sin x + \cos x)}^2}}}{{\sin x + \cos x}}} dx = \int {(\sin x + \cos x)dx} \\ = \int {\sin xdx + \int {\cos xdx = – \cos x + \sin x + c} }[/math]
[math]c)\int {(\tan x + \cot x)\sin 2xdx}[/math]
از روابط مثلثاتی که در بالا گفتیم می دانیم که [math]\tan x + \cot x = \frac{1}{{\sin x.\cos x}}[/math] پس انتگرال ما به صورت زیر خواهد شد :
[math]\int {(\tan x + \cot x)\sin 2xdx} = \int {\frac{{\sin 2x}}{{\sin x\cos x}}} dx[/math]
از طرفی دیگر گفتیم که [math]\sin 2x = 2\sin x\cos x[/math] پس انتگرال ما به صورت زیر خواهد شد :
[math]\int {\frac{{\sin 2x}}{{\sin x\cos x}}} dx = \int {\frac{{2\sin x\cos x}}{{\sin x\cos x}}} dx = \int {2dx = 2x + c}[/math]
انتگرال تانژانت و کتانژانت
در بخش اول انتگرال سینوس و کسینوس رو گفتیم حالا نوبیت تانژانت و کتانژانت است .می دانیم که مشتق تانژانت و کتانژانت به صورت زیر است :
[math]y = \tan x \to y’ = 1 + {\tan ^2}x = {\sec ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\y = \cot x \to y’ = – (1 + {\cot ^2}x) = – {\csc ^2}x = \frac{{ – 1}}{{{{\sin }^2}x}}[/math]
پس با توجه به رابطه معکوس مشتق و انتگرال می توان نوشت که :
[math]\int {(1 + {{\tan }^2}x)dx = \int {({{\sec }^2}x)dx = \tan x + c} } \\\int {(1 + {{\cot }^2}x)dx = \int {({{\cos }^2}x)dx = – \cot x + c} }[/math]
مثال 2: انتگرالهای زیر را حساب کنید :
[math]a)\int {{{\tan }^2}xdx} \\\int {(1 + {{\tan }^2}x – 1)dx = \int {(1 + {{\tan }^2}x)dx – \int {dx = \tan x – x + c} } }[/math]
[math]b)\int {\frac{1}{{1 – {{\cos }^2}x}}dx} \\= \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = } – 3\cot x + c[/math]
اما سوالی که مطرح هست اینکه انتگرال تابع تانژانت و کتانژانت چگونه محاسبه می شود . برای این کار انتگرال تابع تانژانت را بررسی می کنیم :
برای بدست آوردن انتگرال تانژانت باید به روش انتگرال لگاریتم عمل کرد ابتدا انتگرال تانژانت را به صورت زیر می نویسیم:
[math]\int {\tan x} dx = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx}[/math]
از انتگرال لگاریتم یاد گرفتیم که :
چون می دانیم که [math](\cos x)’ = – \sin x[/math] پس انتگرال تانژانت را می توان به صورت زیر باز نویسی کرد :
[math]\int {\tan x} dx = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} = – \int {\frac{{ – \sin x}}{{\cos x}}dx}[/math]
با روش انتگرال لگاریتم و با تغییر متغیر [math]u=cosx[/math] خواهیم داشت که :
[math]- \int {\frac{{ – \sin x}}{{\cos x}}dx} = – \int {\frac{{u’}}{u}dx = – \ln |u| + c = – \ln |\cos x| + c}[/math]
پس انتگرال تانژانت به صورت زیر محاسبه می شود :
[math]\int {\tan x = – \ln |\cos x| + c}[/math]
پس اکنون می توان جمع بندی کرد که انتگرال کتانژانت را نیز به همان روش می توان حساب کرد پس اکنون دو فرمول مهم زیر بدست آوردیم :
[math]\int {\tan x = – \ln |\cos x| + c} \\\int {\cot x = \ln |\sin x| + c}[/math]
با همین روش می توان انتگرال سکانت را محاسبه کرد:
برای محاسبه [math]\int {\sec x}[/math] به روش زیر عمل می کنیم :
[math]\int {\sec x} = \int {\sec x\left( {\frac{{\sec x + \tan x}}{{\sec x + \tan x}}} \right)} dx = \int {\frac{{{{\sec }^2}x + \sec x\tan x}}{{\sec x + \tan x}}} dx[/math]
اکنون در عبارت بالا با استفاده از تغییر متغیر زیر :
[math]u = \sec x + \tan x \to u’ = \sec x\tan x + {\sec ^2}x[/math]
اکنون انتگرال ما بر اساس روش انتگرال لگاریتم خواهیم داشت :
[math]\int {\sec x} = \int {\frac{{{{\sec }^2}x + \sec x\tan x}}{{\sec x + \tan x}}} dx = \int {\frac{{u’}}{u}} dx = \ln |u| + c\\\ln |\sec x + \tan x| + c[/math]
حالا پس از یاد آوری فرمولهای مثلثاتی اکنون فرمولهای انتگرالهی مثلثاتی مورد نیازدر این بخش را بصورت زیر ارایه می کنیم و سپس برای فهم بهتر مطالب چند مثلی را حل می کنیم :
پس تا اینجا فرمول انتگرالهای مثلثاتی را به صورت زیر بدست آوردیم :
نکته فرمول زیر هم از انتگرال های پر کاربرد است :
[math]\int {\sec x.\tan xdx = \int {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx = \sec x + C} } \\\int {\csc x.\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = – \csc x + c}[/math]
[math]\int {\frac{{dx}}{{1 + \cos x}} = – \cot x + \csc x + c} \\\int {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \tan x – \sec x + c}[/math]
اكنون برای فهمه بهتر چند انتگرال مثلثاتی را حل می کنیم :
[math]1)\int {\frac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \\= \int {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx + \int {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx = \int {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int{\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}} dx\\ = \int {\sec x\tan xdx + \int {\csc x\cot xdx = \sec x – \csc x + c} }[/math]
[math]2)\int {\frac{{\sec x\tan x}}{{\sec x – 1}}dx}[/math]
با استفاده از تغییر متغیر و انتگرال لگاریتم داریم :
[math]2)\int {\frac{{\sec x\tan x}}{{\sec x – 1}}dx} \\u = \sec x – 1 \to du = \sec x\tan xdx\\\int {\frac{{\sec x\tan x}}{{\sec x – 1}}dx} = \int {\frac{{u’}}{u}} dx = \ln |u| + c = \ln |\sec x – 1| + c[/math]
[math]3)\int {{{(2 + \tan x)}^2}dx} \\ = \int {(4 + 4\tan x + {{\tan }^2}x)dx = \int {4dx + 4\int {\tan xdx} } } + \int {{{\tan }^2}xdx} \\ = 4x – 4\ln |\cos x| + \int {{{\tan }^2}xdx} \\ = 4x – 4\ln |\cos x| + \int {({{\sec }^2}x + 1)dx} \\ = 4x – 4\ln |\cos x| + \int {{{\sec }^2}xdx + \int {dx} } \\ = 4x – 4\ln |\cos x| + \tan x + x + c\\ = 3x – 4\ln |\cos x| + \tan x + c[/math]