مفهوم حد در بی نهایت

مفهوم حد در بی نهایت

در درسهای قبلی در مورد حدهای نامتناهی و مفهوم بی نهایت صحبت کردیم .اکنون در این مطلب می خواهیم در مورد حالتهایی صحبت کنیم که به ازای x های خیلی بزرگ یا خیلی کوچک می باشد .در واقع می خواهیم رفتار تابع را در زمانی بررسی کنیم که x بدون محدویت بزرگ می شود .[math] (x \to  + \infty ) [/math]  و یا x بدون محدودیت کاهش می یابد[math] (x \to  – \infty ) [/math]

برای فهم مطلب مثالی را بررسی می کنیم.نمودار تابع [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] را در بازه [math] (0, + \infty ) [/math] را در نظر بگیرید . در این بازه با عدد گزاریهای مختلف مقادیر تابع را بدست می آوریم :

[math]{10^6}[/math]	[math]{10^5}[/math]	[math]{10^3}[/math]	[math]100[/math]	[math]10[/math]	[math]5[/math]	[math]2[/math]	[math]1[/math]	[math]x[/math]
[math]{10^{ – 6}}[/math]	[math]{10^{ – 5}}[/math]	[math]{10^{ – 3}}[/math]	[math]0.01[/math]	[math]0.1[/math]	[math] \frac{1}{2} [/math]	[math] \frac{1}{2} [/math]	[math]1[/math]	[math]f(x)[/math]

 

اکنون اگر این عددهای را روی نمودار نمایش دهیم .

شکل بالا نمودار تابع  [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] را در بازه [math] (0, + \infty ) [/math] و نقاط جدول را نشان می دهد. همانطور که در نمودار می بینید هر چقدر مقدار x بزرگتر می شود مقدار تابع کوچکتر می شود .

مثلا وقتی مقدار x برابر 1 بود آنگاه مقدار تابع نیز برابر یک شد اما وقتی مقدار x مثلا برابر پنج شد آنگاه مقدار تابع کوچکتر شد و برابر [math] \frac{1}{5} [/math] شد و به همین ترتیب مطابق جدول بالا هر چی مقدار x بزرگتر می شود می بینیم که مقدار تابع f(x)  کوچکتر می شود.به همین ترتیب ادامه می یابد تا آنگاه که می بینیم مقدار تابع f(x) بسیار کوچک و کوچکتر می شود تا انکه بسیار نزدیک به صفر می شود.

بنابر این با توجه به نمودار و جدول مقادیر تابع [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] در صورتی که x به اندازه کافی بزرگ شود می توان [math]f(x)[/math] را به اندازه دلخواه به صفر نزدیک کرد. در این صورت می گوییم حد [math]f(x)[/math] وقتی x به سمت مثبت بی نهایت میل کند برابر صفر است و می نویسیم :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 0 [/math]

نمودار تابع [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] را در بازه [math] (- \infty,0 ) [/math] را در نظر بگیرید . در این بازه با عدد گزاریهای مختلف مقادیر تابع را بدست می آوریم :

 

[math]- {10^4} [/math]	[math]-1000[/math]	[math]-100[/math]	[math]-10[/math]	[math]-5[/math]	[math]-2[/math]	[math]-1[/math]	[math]x[/math]
[math]- {10^{ – 4}} [/math]	[math]-0.0001[/math]	[math]-0.01[/math]	[math]-0.1[/math]	[math] – \frac{1}{5} [/math]	[math] – \frac{1}{2} [/math]	[math]-1[/math]	[math]f(x)[/math]

 

اکنون اگر این عددهای را روی نمودار نمایش دهیم .

شکل بالا نمودار تابع  [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] را در بازه [math] (- \infty,0 ) [/math] و نقاط جدول را نشان می دهد. همانطور که در نمودار می بینید هر چقدر مقدار x کوچکتر می شود مقدار تابع کوچکتر می شود .

مثلا وقتی مقدار x برابر منفی 1 بود آنگاه مقدار تابع نیز برابرمنفی یک شد اما وقتی مقدار x مثلا برابر منفی 2 شد آنگاه مقدار تابع کوچکتر شد و برابر [math] -\frac{1}{2} [/math] شد و به همین ترتیب مطابق جدول بالا هر چی مقدار x کوچکتر می شود می بینیم که مقدار تابع f(x)  کوچکتر می شود.به همین ترتیب ادامه می یابد تا آنگاه که می بینیم مقدار تابع f(x) بسیار کوچک و کوچکتر می شود تا انکه بسیار نزدیک به صفر می شود.

بنابر این با توجه به نمودار و جدول مقادیر تابع [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] در صورتی که x به اندازه کافی کوچک شود می توان [math]f(x)[/math] را به اندازه دلخواه به صفر نزدیک کرد. در این صورت می گوییم حد [math]f(x)[/math] وقتی x به سمت منفی بی نهایت میل کند برابر صفر است و می نویسیم :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{1}{x} = 0 [/math]

پس با این محاسباتی که تا الان کردیم می توان گفت که

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{x} = 0 [/math]

نکته :منظور از [math] x \to  \pm \infty [/math] آن است که [math] x \to  + \infty [/math] یا [math] x \to  – \infty [/math] .

نتیجه گیری : اولین قضیه و مفهوم حد در بی نهایت را می توان به صورت زیر بیان کرد :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{1}{x} = 0 [/math]

مثال: در نمودارهای زیر حد توابع را بدست آورید .

ابتدا حد تابع g را در مثبت بی نهایت بررسی می کنیم : [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x) = 2 [/math] طبق نمودار وقتی مقادیر x مرتب در حال بزرگ شدن هستند نمودار تابع ما روی خط y=2 حرکت می کند پس در واقع حد این نمودار در مثبت بی نهایت برابر عدد 2 است.   [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } g(x) =  – 2 [/math] طبق نمودار وقتی مقادیر x مرتب در حال کوچک هستند نمودار تابع ما روی خط y=-2  حرکت می کند پس در واقع حد این نمودار در مثبت بی نهایت برابر عدد منفی 2 است.

 

اکنون نمودار زیر را ببینید و حد های آن را در نقطه 1 و بی نهایت حساب کنید.

ابتدا حد تابع را در بی نهایت ها حساب می کنیم:

در شکل بالا به فلاش قرمز رنگ دقت کنید اینجا نشان می دهد که هر چی مقادیر x بزرگتر می شوند مقدار تابع به سمت صفر نزدیکتر می شوند پس :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 0 [/math]

اکنون در شکل بالا به فلاش سبز رنگ دقت کنید اینجا نشان می دهد که هر چی مقادیر x کوچکتر می شوند مقدار تابع به سمت صفر نزدیکتر می شوند پس :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } f(x) = 0 [/math]

اکنون می خواهیم حد تابع در نقطه x=1 را حساب کنیم :

 

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) =  + \infty [/math]

در این حالت وقتی x طبق فلاش بنفش رنگ به یک نزدیک می شود نمودار آبی رنگ در بالا به سمت مثبت بی نهایت می رود

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) =  – \infty [/math]

در این حالت وقتی x طبق فلاش سبز رنگ به یک نزدیک می شود نمودار آبی رنگ در بالا به سمت منفی بی نهایت می رود.

نتیجه گیری: ما در این مطلب در مورد مفهوم حد در بی نهایت توضیح دادیم .در بخش های بعدی در مورد قضایا و روشهای حد گیری در بی نهایت توضیح خواهیم داد.