احتمال-پدیده های تصادفی و پیشامد
احتمال
1-اکثر پدیده هایی که در اطراف ما رخ می دهند چه نوع پدیده هایی هستند ؟
2-این پدیده ها چگونه مشخص می شوند ؟
در جواب سوال اول باید بدانیم که اکثر پدیده هایی که در اطراف ما رخ می دهد یا پدیده های تصادفی هستند یا پدیده های حتمی .
پدیده های تصادفی مثل پرتاب یک سکه می باشد که ما از نتیج نهایی آن مطلع نیستیم ، و اما پدیده های حتمی مثل طلوع خورشید هر روز صبح از مشرق زمین است که یک پدیده قابل پیش بینی است .
وقتی ما سخت از احتمال می زنیم یعنی در واقع می خواهیم پدیده های تصادفی را بررسی کنیم . وقوع خیلی از پدیده های تصادفی از طریق مشاهده و وقوع تعدادی دیگر از طریق آزمایش مشخص می شوند.
مثلا :تعداد اتومبیلهایی که از یک چهار راه در ساعت معینی می گذرند از طریق مشاهده مشخص می شوند اما در پرتاب یک تاس نتیجه از طریق آزمایش مشخص می شود .
یک تاس را به هوا پرتاب می کنیم اینجا ما با دو پدیده مواجه هستیم .
1-پدیده حتمی :قطعا این تاس به زمین خواهد آمد .
2-پدیده تصادفی :ما نمی دانیم که این تاس وقتی به زمین می خورد چه عددی خواهد آمد ، هر کدام از عددهای {1و2و3و4و5و6} می توانند نتیجه پرتاب تاس باشند.در واقع در این حالت با پدیده ای غیر قابل پیش بینی مواجه هستیم .
پدیده های تصادفی را بیشتر در علم اقتصاد،مدیریت و علوم اجتماعی و حتی در زندگی روز مره می توان یافت .مثلا :نتیجه یک بازی فوتبال یا نتیجه یک آزمون را نمی توان بطور قطع و یقین از قبل پیش بینی کرد.
اینجاست که اهمیت مطالعه پدیده های تصادفی مشخص می شود و علم احتمال به کمک ما می آید .
با این مقدمه اکنون می رسیم به تعریف ریاضی از پدیده های تصادفی و پیشامدها
پدیده تصادفی (آزمایش تصادفی ):آزمایش یا پدیده ای است که نتیجه آن را نمی توان پیش بینی کرد ، اما مجموعه نتایج ممکن ان آزمایش یا پدیده ، از قبل قابل پیش بینی است .
مثال :
پرتاب سکه :در پرتاب سکه ممکن است نتیجه آزمایش ما {پشت یا رو } باشد.
پرتاب تاس :در پرتاب تاس ممکن است نتیجه آزمایش ما هر کدام از عددهای {1و2و3و4و5و6} باشد.
در دو مثال بالا پرتاب سکه و تاس ، همه نتایج آزمایش یا پدیده برای ما مشخص شد .ما می توانیم همه نتایج قابل پیش بینی یک پدیده تصادفی را به صورت یک مجموعه در نظر بگیریم و این مجموعه را با S نشان می دهیم آن را فضای نمونه بنامیم .
فضای نمونه :فضای نمونه شامل تمام حالتهای ممکن یک پدیده تصادفی است،و این مجموعه را با حرف بزرگ [math]S[/math] نمایش می دهیم .
الف )فضای نمونه پرتاب یک سکه
[math]S= [/math]{رو ،پشت}
ب)فضای نمونه پرتاب یک تاس :
[math]S = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}[/math]
پ)فضای نمونه پرتاب یک سکه و یک تاس بصورت زیر است :
ج)فضای نمونه تولد یک فرزند :
[math]S= [/math]{دختر ،پسر}
د)فضای نمونه تولد سه فرزند
نکته :فضای نمونه ای ممکن است دارای تعداد نامتناهی عضو باشد .
تعداد اعضای فضای نمونه ای را با [math]n(S)[/math] نمایش می دهیم .
مثلا در مثال بالا در مثال الف پرتاب یک سکه [math]n(S)=2[/math] و در مثال ب پرتاب تاس [math]n(S)=6[/math] و در مثال پ پرتاب یک سکه و تاس [math]n(S)=12[/math] و مثال ج تولد فرزند [math]n(S)=2[/math] و سرانجام در مثال د تولد سه فرزند [math]n(S)=8[/math]
نکته : اصل ضرب : اگر آزمایش از چند مرحله مختلف تشکیل شده باشد بطوریکه مرحله اول به a روش و مرحله دوم به b روش و مرحله سوم به c روش و …. قابل انجام باشد ، آنگاه این آزمایش به
[math] a \times b \times c \times …[/math]
روش قابل انجام است . کافیست فضای نمونه در هر مرحله را جداگانه محاسبه کرده و در هم ضرب کنیم.
مثال پرتاب تاس و سکه با هم را مرور می کنیم
و سرانجام
[math]\to n(S) = 2 \times 6 = 12[/math]
روش درختی نمایش فضای نمونه
برای نوشتن اعضای فضای نمونه می توان از روش درختی استفاده کرد
مثال 1: فضای نمونه پرتاب سکه و تاس :
مثال 2 :فضای نمونه ای 3 فرزند یک خانواده
پیشامدهای تصادفی
هر زیر مجموعه از فضای نمونه ای را پیشامد تصادفی می نامیم .(در واقع حالت خاصی را که می خواهیم پیش بیاید) معمولا با یکی از حروف بزرگ A,B,C,… نشان داده می شود .
مثال : در پرتاب یک تاس دانستیم که فضای نمونه :
[math] S = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}[/math]
الف )پیشامد این که عدد زوج بیاید :
[math] A = \left\{ {2,4,6} \right\}[/math]
ب)پیشامد این که مضارب 3 بیاید :
[math] B = \left\{ {3,6} \right\}[/math]
مثال2 : دو تاس آبی و قرمز را با هم پرتاب می کنیم ، همه حالتهای ممکن را می توان در جدول زیر مشاهده کرد . در واقع جدول زیر فضای نمونه ای این پیشامد را نشان می دهد .
الف)قطر آبی رنگ در شکل بالا چه پیشامدی را نشان می دهد ؟
پاسخ : پیشامدهایی که در آن مجموعه در عدد رو شده برابر 7 باشد.
ب)پیشامدی که در آن هر دو عدد بدست آمده زوج می باشد .
[math]S = \left\{ {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)} \right\}\\n(S) = 9[/math]
مثال 3:در جعبه ای 3 مهره قرمز متفاوت (با شماره های 1 تا 3) و دو مهره آبی متفاوت (با شماره های 1 تا 2) وجود دارد.
3 مهر به تصادف از این جعبه خارج می کنیم . تعداد حالتهای ممکن انتخاب سه مهره از بین 5 مهره برابر است با : [math] \binom{5}{3}=10[/math]
چون ترتیب انتخاب اینجا مهم نیست .حالا فضای نمونه ای این انتخاب بصورت زیر می نویسیم :
[math]S = \left\{ {{R_1}{R_2}{R_3},{R_1}{R_2}{B_1},{R_2}{R_3}{B_2},{R_1}{R_3}{B_1},{R_1}{R_3}{B_2},{R_1}{R_2}{B_2},{R_2}{R_3}{B_1},{B_1}{B_2}{R_1},{B_1}{B_2}{R_2},{B_1}{B_2}{R_3}} \right\}\\[/math]
الف)پیشامد انتخاب حداقل یک مهره آبی :
[math]A = \left\{ {{R_1}{R_2}{B_1},{R_1}{R_3}{B_1},{R_2}{R_3}{B_2},{R_1}{R_3}{B_2},{R_1}{R_2}{B_2},{R_2}{R_3}{B_1},{B_1}{B_2}{R_1},{B_1}{B_2}{R_2},{B_1}{B_2}{R_3}} \right\}\\[/math]
ب)پیشامد حداکثر یک مهره آبی انتخاب شود
[math]B = \left\{ {{R_1}{R_2}{B_1},{R_2}{R_3}{B_2},{R_1}{R_3}{B_1},{R_1}{R_3}{B_2},{R_1}{R_2}{B_2},{R_2}{R_3}{B_1},{R_1}{R_2}{R_3}} \right\}[/math]
ج)پیشامد انتخاب هر سه مهر قرمز
[math] C = \left\{ {{R_1}{R_2}{R_3}} \right\}[/math]