نمونه سوالات امتحانی و تست های کنکوری بخش تابع وارون پذیر
قبل از سوالات برای دیدن آموزش بخش تابع معکوس اینجا را کلیک کنید
1-ضابطه وارون تابع [math] f(x) = \sqrt {2x + 3} [/math] را بدست آورید.(امتحان نهایی حسابان-دی ماه 93)
جواب:
[math]f(x) = \sqrt {2x + 3} \to 2x = {y^2} – 3 \\x = \frac{{{y^2} – 3}}{2} \to {f^{ – 1}}(x) = \frac{1}{2}{x^2} – \frac{3}{2} \\[/math]
2-وارون پذیری تابع زیر را بررسی کنید و در صورت وارون پذیر بودن تابع ،ضابطه وارون آن را به دست آورید.)امتحان نهایی حسابان-شهریور 92)
[math] f(x) = \sqrt {x + 3} – 5 [/math]
جواب :
برای اینکه تابعی معکوس پذیر (وارون پذیر) باشد باید ابتدا ثابت کنیم که تابع یک به یک است.
[math]f({x_1}) = f({x_2}) \to \sqrt {{x_1} + 3} – 5 = \sqrt {{x_2} + 3} – 5 \to \sqrt {{x_1} + 3} = \sqrt {{x_2} + 3} \to {x_1} + 3 = {x_2} + 3 \to \\{x_1} = {x_2} \\[/math]
پس تابع ما یک به یک است در نتیجه وارون پذیر است حالا وارون آن را بدست می آوریم.
[math]y = \sqrt {x + 3} – 5 \to y + 5 = \sqrt {x + 3} \to {(y + 5)^2} = x + 3 \\{(y + 5)^2} – 3 = x \to {f^{ – 1}}(x) = {(x + 5)^2} – 3 \\[/math]
3-اگر [math]f(x)=4x-3[/math] و [math]g(x)=x+2[/math] تابع [math] {(gof)^{ – 1}} [/math] را حساب کنید .(امتحان نهایی حسابان –شهریور 90)
جواب:
ابتدا ضابطه [math]gof[/math] را حساب می کنیم
[math] y = (gof)(x) = g(f(x)) = g({\rm{4x}} – {\rm{3}}) = 4x – 3 + 2 = 4x – 1 [/math]
اکنون با داشتن ضابطه اصلی می توان معکوس آن را بدست آورد
[math]y = 4x – 1 \to y + 1 = 4x \to x = \frac{{y + 1}}{4} \to y = \frac{{x + 1}}{4} \\{(gof)^{ – 1}} = \frac{{x + 1}}{4} \\[/math]
4-ثابت کنید تابع [math] f(x) = {(x – 2)^2},x \ge 2 [/math] وارون پذیر است سپس ضابطه وارون آن را بنویسید.(امتحان نهایی حسابان –خرداد 91)
جواب:
ابتدا باید یک به یک بودن تابع را بررسی کنیم
[math]f({x_1}) = f({x_2}) \to {({x_1} – 2)^2} = {({x_2} – 2)^2} \to \\({x_1} – 2) = ({x_2} – 2) \to {x_1} = {x_2} \\[/math]
پس تابع یک به یک است در نتیجه وارون پذیر است
[math]f(x) = {(x – 2)^2} \\y = {(x – 2)^2} \to \sqrt y = x – 2 \to \sqrt y + 2 = x \\{f^{ – 1}}(x) = \sqrt x + 2 \\[/math]
5-[math]f[/math] تابعی یک به یک است و [math] {f^{ – 1}}[/math] معکوس [math]f[/math] است ،اگر تابع [math]h[/math] تابعی معکوس پذیر باشد ، ضابطه تابع معکوس [math]h(x)=1-2f(2-3x)[/math] را بیابید.
جواب :
1-
[math]h(x) = y \to x = {h^{ – 1}}(y) \\[/math]
2-
[math]y = 1 – 2f(2 – 3x) \to f(2 – 3x) = \frac{{1 – y}}{2} \\2 – 3x = {f^{ – 1}}(\frac{{1 – y}}{2}) \to x = \frac{{2 – {f^{ – 1}}(\frac{{1 – y}}{2})}}{3} \\[/math]
اکنون از رابطه 1 و 2 داریم که :
[math]{h^{ – 1}}(y) = \frac{{2 – {f^{ – 1}}(\frac{{1 – y}}{2})}}{3} \to {h^{ – 1}}(y) = \frac{{2 – {f^{ – 1}}(\frac{{1 – x}}{2})}}{3}[/math]
6-ضابطه معکوس تابع [math] y = 2 – \sqrt {x – 1} [/math] به کدام صورت است ؟(کنکور سراسری 92-رشته تجربی)
[math]1-y = {x^2} – 4x + 5,x \le 2 \\2- y = {x^2} + 4x – 5,x \le 2 \\3- y = {x^2} – 4x + 5,x \ge 1 \\4- y = – {x^2} + 4x – 5,x \ge 1 \\[/math]
جواب :
گزینه 1 درست است . چون [math] \sqrt {x – 1} [/math] مثبت است . پس [math]- \sqrt {x – 1} [/math] منفی می شود در نتیجه تابع [math] y=2-\sqrt {x – 1} [/math] همواره کوچکتر و مساوی 2 است .پس دامنه تابع بصورت
[math] x \le 2 [/math]
اکنون ضابطه معکوس را بدست می آوریم
[math]y = 2 – \sqrt {x – 1} \to y – 2 = – \sqrt {x – 1} \to (2 – y) = \sqrt {x – 1} \\{(2 – y)^2} = {(\sqrt {x – 1} )^2} \to {(2 – y)^2} = x – 1 \\4 – 4y + {y^2} = x – 1 \to x = {y^2} – 4y + 5 \to \\y = {x^2} – 4x + 5 \\[/math]
7-تابع [math] f(x) = {x^2} + 2x + 1 [/math] با دامنه [math] ( – 1, + \infty ) [/math] مفروض است ،نمودارها دو تابع [math]f, {f^{ – 1}}[/math] در چند نقطه متقاطع هستند ؟(کنکور سراسری 92-رشته ریاضی)
1)1 2)2 3)3 4)غیر متقاطع
جواب :
گزینه 4 است .
طبق نکته ای که در بخش تابع معکوس پذیر گفتیم هر تابع با معکوسش نسبت به خط [math]y=x[/math] متقارن است و همچنین هر تابع با معکوسش با این خط متقاطع است بنابر این داریم که :
[math]y = x \to {x^2} + 2x + 1 = x \\{x^2} + x + 1 = 0 \\[/math]
اکنون سعی می کنیم ریشه های معادله فوق را بدست آوریم .
[math] \Delta = {b^2} – 4ac = 1 – 4 = – 3 < 0 [/math]
یعنی معادله ریشه حقیقی ندارد پس غیر متقاطع است.
8-اگر [math] f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}[/math] باشد ، ضابطه [math]f^{-1}(\sin x) [/math] کدام است ؟ (کنکور سراسری 90-رشته ریاضی)
1)[math]tanx[/math]
2)[math]cotx[/math]
3)[math]\frac{|\cos x|}{sinx} [/math]
4)[math]\frac{|sinx|}{|\cos x|} [/math]
جواب گزینه 4 صحیح است
ابتدا باید تابع معکوس را حساب کنیم
[math]y=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\rightarrow y^{2}=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\rightarrow \\
x^2=y^2+y^2x^2\rightarrow y^2x^2-x^2=-y^2\\x^2(y^2-1)=-y^2\rightarrow x^2=\frac{-y^2}{y^2-1}=\frac{y^2}{1-y^2}\rightarrow \\f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}}\\f^{-1}(sinx)=\sqrt{\frac{(sin^{2}x)}{1-sin^{2}x}}=\sqrt{\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}=\frac{|sinx|}{|cosx|}[/math]
دیدگاه!
اين بخش براي كاربران ویژه سایت هست که با پرداخت حق عوضیت نمایش داده می شود
تاکید می کنیم که افراد می توانند با پرداخت حق عضویت از امکانات فراوان سایت بهره مند شوند