تمرینات بخش نمودار قدر مطلق
در این پست تمرینات بخش نمودار مطلق را برای شما آورده ایم تا بیشتر در این زمینه تمرین داشته باشید و با نمونه سوال امتحانی نیز آشنا شوید
1-معادله [math] x + \frac{x}{{|x|}} = 3[/math] را به روش هندسی حل کنید . (امتحان نهایی حسابان خرداد 93)
جواب :
ما اینجا دو تابع خواهیم داشت یکی (f(x که بصورت زیر است :
[math]f(x) = x + \frac{x}{{|x|}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 0} & {x + 1} \\ {x < 0} & {x – 1} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
و دیگری تابع g(x) =3 خواهد بود ، از تقاطع این دو تابع نمودار و ریشه های آن بدست می آید .
اینجا ما به دو معادله روبرو خواهیم شد
[math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 0} & {x + 1 = 3} \\ {x < 0} & {x – 1 = 3} \\\end{array}} \right\} \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 – 1 = 2} \\ {x = 3 + 1 = 4} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
اما با توجه به رسم نمودار جواب x=2 قابل قبول است.
2-نامعادله [math] \sqrt {x – 1} \le |x – 1|[/math] را با روش هندسی حل کنید . (امتحان نهایی حسابان خرداد 90)
جواب:
ابتدا دو نمودار جداگانه بصورت زیر را در نظر می گیریم و نمودار هر کدام را رسم می کنیم:
[math]{y_1} = \sqrt {x – 1} \\ {y_2} = |x – 1| \\[/math]
مجموعه جواب نقاطی است که این دو نمودار همدیگر را قطع می کنند
با توجه به شکل بالا [math] [2, + \infty ) \cup \{ 1\} [/math] مجموعه جواب است.
3-ابتدا نمودار تابع [math]f(x)=|x-3|[/math] را در بازه [math][2,4][/math] رسم کنید و سپس به کمک آن ،نمودار تابع [math]f(-x)[/math] را رسم کنید.
جواب
برای رسم نمودار می توانیم به راحتی با استفاده از روش انتقال [math]f(x)=|x-3|[/math] را رسم کنیم که بصورت زیر خواهد بود.
اما چون فقط در بازه [math][2,4][/math]خواسته شده پس بصورت زیر می شود.
اما چون ما f(-x) را می خواهیم پس بصورت زیر می شود
.
4-تابع [math]f(x)=3-|x+1|[/math] را بصورت یک تابع چند ضابطه ای بنویسید نمودار آن را رسم کنید.
جواب :
ریشه عبارت درون قدر مطلق برابر با [math]x=-1[/math] پس دامنه تابع بصورت [math] x < – 1,x \ge – 1 [/math] تقسیم می کنیم .
[math]f(x) = 3 – |x + 1| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 – (x + 1)} & {x \ge 1} \\ {3 – ( – (x + 1))} & {x < – 1} \\\end{array}} \right\} \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 – x} & {x \ge 1} \\ {4 + x} & {x < – 1} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
5-منحنی نمایش معکوس تابع [math]f(x)=2x+|2x|[/math] را بدست آورید ؟
جواب :
ابتدا قدر مطلق را تعیین علامت می کنیم :
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 2x} & {x \ge 0} \\ {2x – 2x} & {x < 0} \\\end{array}} \right\} \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x} & {x \ge 0} \\ 0 & {x < 0} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
منحنی نمایش تابع بصورت زیر خواهد بود .
حالا چون معکوس یک تابع ، قرینه آن نسبت به نیمساز ربع اول و سوم است پس معکوس نمودار فوق بصورت زیر قرینه می شود.
6-نمودار تابع [math]f(x)=||x|-2|[/math] را رسم کنید ،سپس معادله [math]f(x)=1[/math] را ،هم به روش هندسی و هم به روش جبری حل کنید.
برای رسم [math]f(x)=||x|-2|[/math] ،ابتدا باید مشابه حالت [math]|f(x)|[/math] عمل کنیم در واقع ما ابتدا [math]f(x)=|x|-2[/math] را در نظر می گیریم ، این حالت شبیه به حالت کلی انتقال نمودار قدر مطلق هست که گفتیم [math]y=|x|+c[/math] می باشد . یعنی اینجا نمودار [math]y=|x|[/math] را به کمک انتقال به اندازه 2 واحد در راستای محور y ها به سمت پایین رسم می کنیم .
| تبدیل می شود به | بر اساس حالت | |
| [math] f\left( x \right) = \left| x \right| – 2 [/math] | [math]|f(x)|[/math] | [math] f\left( x \right) = \left| {\left| x \right| – 2} \right| \Rightarrow [/math] |
| کمک انتقال به اندازه 2 واحد در راستای محور y ها به سمت پایین رسم می کنیم | [math]y=|x|+c[/math] | [math] f\left( x \right) = \left| x \right| – 2 [/math] |
اکنون طبق حالت [math]|f(x)|[/math] باید در نمودار بالا ،بخش هایی از نمودار حاصل که زیر محور x ها قرار دارد را نسبت به محور x ها قرینه کنیمو قسمت پایین محور x ها را حذف می کنیم تا نمودار [math]f(x)=||x|-2|[/math] حاصل شود .
فیلم زیر را ببینید و توضیحات آن را در مورد نمودار گوش دهید .
اکنون نمودارهای [math]f(x)=||x|-2|[/math] و [math]f(x)=1[/math] را در یک دستگاه رسم می کنیم
با توجه به شکل بالا نمودار [math]f(x)=||x|-2|[/math] خط [math]y=1[/math] را در چهار نقطه قطع می کند پس معادله [math] ||x|-2|=1[/math] چهار ریشه دارد . اکنون به روش جبری ریشه ها را حساب می کنیم :
[math]\left| {\left| x \right| – 2} \right| = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}|x| – 2 = 1\\|x| – 2 = – 1\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}|x| = 3\\|x| = 1\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\x = \pm 1\end{array} \right\}[/math]
عالی