دنباله ها بخش 3-مجموع جملات تصاعد حسابی

مجموع جملات دنباله حسابی

در بخش قبلی ما دنباله حسابی را مفصل توضیح دادیم ، اکنون در این بخش می خواهیم روی جمع جملات این دنباله ها صحبت کنیم . اما قبل از آغاز بحث یه داستان جالبی را روایت می کنیم .

زمانی که گاوس ریاضیدان آلمانی ده ساله بود ، روزی معلم از دانش آموزان کلاس خواست مداد و کاغذ بردارند و حاصل جمع اعداد 1 تا 100 را بدست آورند.چند دقیقه نگذشته بود که معلم ،گاوس را دید که به کار دیگری مشغول است . معلم از او پرسید :

چرا مساله را حل نمی کنی ؟

گاوس جواب داد :حل کردم!!

معلم با تعجب گفت : این غیر ممکن است .

گاوس گفت : خیلی هم آسان بود روش کار به این صورت است .

 

سپس دو به دو عددهای بالا را با هم جمع کردم

بدین ترتیب 100 عدد 101 بدست آوردم که حاصلضرب آنها 10100 می شود و چون دوبار مجموع 1 تا صد را حساب کردم عدد 10100 را بر دو تقسیم کردم و عدد 5050 بدست آمد . بنابر این حاصل جمع اعداد 1 تا 100 برابر 5050 می شود .

این روش جالبی بود که گاوس ریاضی دان آلمانی برای جمع اعداد 1 تا صد بکار برد .حالا ما میخواهیم با استفاده از این روش مجموعه اعداد دنباله ها از 1 تا n جمله را حساب کنیم .

من ابتدا اینجا باز یک قاعده را یادآوری می کنم .مقدمه من در مورد قاعده اندیس ها در دنباله های حسابی است .

قاعده اندیس ها در دنباله های حسابی

فرض کنید که [math] \{a_{n}\} [/math]  یک دنباله حسابی باشد

[math] a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n} [/math]

و m,n,p,q هم چهار عدد طبیعی باشند ، آنگاه

[math]m+n=p+q \Rightarrow a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\\m-n=p-q \Rightarrow a_{m}-a_{n}=a_{p}-a_{q}[/math]

مثلا در یک دنباله حسابی داریم :

[math] a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}[/math]

چون [math]1+n=2+(n-1)=n+1[/math]

با این مقدمه وارد اصل مبحث مجموع جملات در دنباله های حسابی می شویم و با استفاده از روش گاوس مجموع جملات را حساب می کنیم ،فرض کنید دنباله حسابی بصورت زیر داریم :

[math] a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n} [/math]

مجموع جملات اول تا n ام این دنباله را با [math] \{S_{n}\} [/math]   نمایش می دهیم

[math] S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}[/math]

به روش گاوس می خواهم فرمولی برای جمع جملات بدست آوریم ، پس یکبار جملات را از اول تا n می نویسیم و یک بار هم بر عکس جملات را از n تا یک می نویسیم و سپس با هم جمع می کنیم :

از جمع این دوتا سطر رابطه زیر بدست می آید :

[math]2{S_n} = ({a_1} + {a_n}) + ({a_2} + {a_{n – 1}}) + ({a_3} + {a_{n – 2}}) + …. + ({a_{n – 1}} + {a_2}) + ({a_n} + {a_1})[/math]

اینجاست که قاعده اندیس ها به کمک ما می آید ، به اندیس های جملات بالا دقت کنید حاصل جمع همه آنها برابر n+1 است :

[math]\\(a_{1}+a_{n}) \Rightarrow n+1\\(a_{2}+a_{n-1}) \Rightarrow 2+n-1=n+1\\(a_{3}+a_{n-2}) \Rightarrow 3+n-2=n+1\\.\\.\\.\\(a_{n-1}+a_{2}) \Rightarrow n-1+2=n+1\\(a_{n}+a_{1}) \Rightarrow n+1[/math]

وقتی حاصل جمع آنها با هم برابر شد پس حاصل جمع جملاتشان نیز مطابق قاعده اندیس ها با هم برابر است پس می توانیم در جمع [math] 2{S_n} [/math] به جای همه جملات از جمله [math] a_{1}+a_{n} [/math]  استفاده کنیم پس :

[math]\left\{ \begin{array}{l}({a_1} + {a_n}) = ({a_2} + {a_{n – 1}}) = ({a_3} + {a_{n – 2}}) = ….. = ({a_{n – 1}} + {a_2}) = ({a_n} + {a_1})\\2{S_n} = ({a_1} + {a_n}) + ({a_2} + {a_{n – 1}}) + ({a_3} + {a_{n – 2}}) + …. + ({a_{n – 1}} + {a_2}) + ({a_n} + {a_1})\end{array} \right\} \to\\2{S_n} = n({a_1} + {a_n})\\\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{n}{2}({a_1} + {a_n})[/math]

از طرفی دیگر می دانیم که فرم عمومی جمله یک دنباله حسابی بصورت :

[math] {a_n} = {a_1} + (n – 1)d[/math]

اگر این را در فرمول بالا جایگزین کنیم خواهیم داشت :

[math]\left\{ \begin{array}{l}{a_n} = {a_1} + (n – 1)d\\{S_n} = \frac{n}{2}({a_1} + {a_n})\end{array} \right\} \Rightarrow {S_n} = \frac{n}{2}(2a{}_1 + (n – 1)d)[/math]

تمرین 1 :مجموع بیست جمله اول دنباله حسابی زیر را بیابید .(امتحان حسابان دی ماه 91)

[math]-5,-3,-1,…[/math]

جواب :

برای جواب در گاه اول باید قدر نسبت این دنباله حسابی را حساب کنیم .

[math] d=a_{2}-a_{1}=-3-(-5)=2[/math]

سپس فرمول مجموعه دنباله حسابی را در نظر بگیرید

[math] {S_n} = \frac{n}{2}(2a{}_1 + (n – 1)d[/math]

20	برابر بیست است طبق فرض مساله	[math]n[/math]
2	از نفاضل دو جمله بدست آوردیم	[math]d[/math]
-5	در مساله داده شده است	[math] a_{1}[/math]

 

پس با توجه به داده های بالا و فرمول خواهیم داشت :

[math] {S_n} = \frac{n}{2}(2{a_1} + (n – 1)d \Rightarrow {S_{20}} = \frac{{20}}{2}(2{a_1} + 19d) = 10( – 10 + 38) = 280[/math]

 

نکته 1: در تمام دنباله های داریم :

[math]{S_1} = {a_1}\\{a_n} = {S_n} – {S_{n – 1}}[/math]

تمرین 2 :در یک دنباله حسابی داریم [math] S_{n}=2n(n-1) [/math] می باشد،[math] a_{n} [/math]  را بیابید .

تمرین 3:مجموع n جمله اول از یک دنباله حسابی به صورت [math] {S_n} = \frac{{n(n – 15)}}{6}   [/math] است . در این دنباله مجموع جملات با شروع از جمله هفتم و ختم به جمله هجدهم کدام است ؟ (کنکور سراسری ریاضی خارج از کشور 90)

[math]1)9\\2)\frac{{29}}{3}\\3)\frac{{49}}{3}\\4)18\\[/math]

تمرین 4 :در یک دنباله حسابی [math] {S_{21}} = 210 [/math] جمبه یازدهم دنباله چند است ؟

تمرین 5:در دنباله حسابی [math]3,9,15,…[/math] حداقل چند جمله را باید جمع کنیم تا حاصل از 300 بیشتر شود (امتحان حسابان دی 93)

تمرین 6: مجموع n جمله یک دنباله حسابی برابر[math] {S_n} = {n^2} + 2n[/math] است .مجموع جملات هفتم و هشتم و نهم چقدر است ؟

 

پاسخ تمرینات در لینک زیر

بر روی این سطر کلیک کنید تا پاسخ تمرینات را مشاهده کنید