تستهای بخش حد با پاسخ تحلیلی-جزء صحیح
1-اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^2} + ax + b)\left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2[/math] آنگاه a+b کدام است ؟
1)1 2)2 3)-1 4)-2
جواب :
ابتدا مساله را بصورت زیر تفکیک می کنیم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\left[ {\frac{1}{x}} \right] + a\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {\frac{1}{x}} \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} b\left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2[/math]
همانطور که می بینید اینجا با سه عبارت دارای جزء صحیح مواجه می شویم که باید تک تک آنها را جداگانه حل کنیم.ابتدا حد زیر را بررسی می کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {\frac{1}{x}} \right] = ?[/math]
برای هر عدد حقیقی مانند [math] \alpha [/math] از خصوصیات جزء صحیح داریم
[math] \alpha – 1 < \left[ \alpha \right] \le \alpha [/math]
که می توانیم به جای [math] \alpha [/math] عبارت [math] {\frac{1}{x}} [/math] را قرار دهیم :
[math] \frac{1}{x} – 1 < \left[ {\frac{1}{x}} \right] \le \frac{1}{x} [/math]
اکنون حد راست را حساب می کنیم :[math] x \to {0^ + } [/math]
ابتدا عبارت بالا را ساده تر می کنیم و هر دو طرف را در x ضرب می کنیم :
[math] 1 – x < x\left[ {\frac{1}{x}} \right] \le 1 [/math]
می دانیم که [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (1 – x) = 1 [/math] پس طبق قضیه فشردگی :
[math] 1)\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x\left[ {\frac{1}{x}} \right] = 1 [/math]
اکنون حد چپ را حساب می کنیم :[math] x \to {0^ – } [/math].
[math] 1 – x > x\left[ {\frac{1}{x}} \right] \ge 1 \to 1 \le x\left[ {\frac{1}{x}} \right] < 1 – x [/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} (1 – x) = 1 [/math]
پس طبق قضیه فشردگی :
[math] 2)\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} x\left[ {\frac{1}{x}} \right] = 1 [/math]
در نتیجه چون حد چپ و راست فوق برابر هستند پس
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0 }} x\left[ {\frac{1}{x}} \right] = 1 [/math]
بخش اول حل شد ، حالا باید بخش دیگر مساله رو حل کنیم و آن هم محاسبه حد زیر :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\left[ {\frac{1}{x}} \right] = ? [/math]
برای محاسبه حد فوق ، حد را بصورت زیر می نویسیم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.x\left[ {\frac{1}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {\frac{1}{x}} \right][/math]
چون حد [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {\frac{1}{x}} \right] [/math] را حساب کردیم پس حد فوق بصورت زیر خواهد بود :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {\frac{1}{x}} \right] = 0 \times 1 = 0[/math]
و سرانجام بخش آخر مساله محاسبه حد
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{x}} \right] [/math]
این حد موجود نیست و یا بی نهایت است .
می توانیم فرض کنیم که [math] \left[ {\frac{1}{x}} \right] \sim \frac{1}{x} [/math] وقتی [math] x \to 0 [/math] البته این برای زمانی هست که بخواهیم x را فقء ىر حالت تمايل به صفر در نظر بگیریم ، و اگر بخواهیم حد چپ و راست را جداگانه حساب کنیم حد راست مثبت بی نهایت و حد چپ هم منفی بی نهایت می شود و سرجمع حد نخواهد داشت اما بحث اصلی ما اینجا حد داشتن نیست بلکه ما باید کاری بکنیم که این عبارت در عددی ضرب شود و یک عدد بدست آید( نکته ای در این مورد در پایین نوشته شده است حتما بخوانید) بنابراین
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty [/math]
چون حد بدست آمده ما باید برابر عدد 2 باشد لذا اینجا عبارت زیر باید برابر یک عدد باشد.
[math] {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} b.\left[ {\frac{1}{x}} \right]} [/math]
كه ىر اينجا مقدار b حتما باید برابر صفر شود تا داشته باشیم .
[math] \mathop {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} b.\left[ {\frac{1}{x}} \right]}\limits_{} = 0 \times \infty = 0[/math]
تا اینجا ما حد عبارتهای
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{x}} \right],\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {\frac{1}{x}} \right],\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\left[ {\frac{1}{x}} \right],\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} b\left[ {\frac{1}{x}} \right][/math]
را حساب کردیم حالا بر می گردیم به اصل مساله ما و مقادیر حد های بدست آمده را جایگذاری می کنیم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\left[ {\frac{1}{x}} \right] + a\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left[ {\frac{1}{x}} \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} b\left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2 \\ \\ 0 + 1 + 0 = 2 \\[/math]
پس [math]a=2[/math] و در نتیجه [math]a+b=2[/math] و گزینه 2 درست است.
نکته 1: نحوه برخورد با براکت در حد های شامل جزء صحیح : برای حل حدهایی که بخشی از آن براکت است ،ابتدا فقط مقدار براکت (جزء صحیح) را در آن نقطه بدست آورده و سپس حد می گیریم .در واقع باید قبل از هر چیزی تابع داده شده را از بند براکت آزاد کنیم .در اینجا باید حد چپ و راست را حساب کنید ، حتی اگر در سوال از شما نخواسته باشد ، باز هم باید حد چپ و راست را بدست آورید و سپس در مورد وجود یا عدم وجود حد نتیجه بگیریم .
نکته 2:اگر [math] a \in {\rm Z}[/math] آنگاه : [math] [{a^ + }] = a,[{a^ – }] = a – 1[/math]
به عبارتی دیگر :
[math]x \to {a^ + } \Rightarrow a < x \Rightarrow [{a^ + }] = a \\ x \to {a^ + } \Rightarrow – a > – x \Rightarrow – x \to – {a^ – } \Rightarrow [ – {a^ – }] = – a + 1 \\ x \to {a^ – } \Rightarrow a > x > a + 1 \Rightarrow [{a^ – }] = a + 1 \\ x \to {a^ – } \Rightarrow – a < – x \Rightarrow [ – {a^ + }] = – a \\[/math]
اکنون با توجه به نکات بالا چند تستی را با هم مرور می کنیم .
2-حد راست کسر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left[ {{x^2}} \right] – {x^2}}}{{x\tan x}} = ?[/math]
برابر است با :
1)-1 2)2 3)1 4)-2
(کنکور-آزاد –رشته ریاضی -67)
جواب:
چون بخش از تابع جزء صحیح دارد پس ابتدا سعی می کنیم از جزء صحیح رها بشیم ،
[math]x \to {0^ + } \Rightarrow {x^2} \to {0^ + } \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {{x^2}} \right] = \left[ {{0^ + }} \right] = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left[ {{x^2}} \right] – {x^2}}}{{x\tan x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left[ {{0^ + }} \right] – {x^2}}}{{x\tan x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ – {x^2}}}{{x\tan x}} \\[/math]
حالا دقت کنید با توجه به اینکه اینجا حد به سمت صفر محاسبه می کنیم طبق هم ارزیهای مثلثاتی وقتی ایکس به سمت صفر میل می کند تانژانت هم ارز با [math]x[/math] می شود پس خواهیم داشت که :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ – {x^2}}}{{x\tan x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ – {x^2}}}{{x.x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ – {x^2}}}{{{x^2}}} = – 1[/math]
3-[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ x \right](\left[ x \right] – 1)[/math] کدام است ؟
1)-2 2)-1 3)صفر 4)1
(سراسری ریاضی 67)
جواب :
برای حل این تست از نکته شماره 2 باید استفاده کنید.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ x \right](\left[ x \right] – 1) = \left[ {{1^ + }} \right](\left[ {{1^ + } – 1} \right]) = 1(1 – 1) = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left[ x \right](\left[ x \right] – 1) = \left[ {{1^ – }} \right](\left[ {{1^ – } – 1} \right]) = (0)(0 – 1) = 0 \\[/math]
جواب :گزینه 3
4-در تابع [math] y = \left[ {3x} \right] + 2\left[ x \right] – \left[ {{x^2}} \right][/math] اگر
[math] x \to 2[/math] حد راست ازچپ چقدر بیشتر است ؟ (آزاد-ریاضی -80)
1)1 2)2 3)4 4)صفر
جواب:
از نکته 2 مطرح شده در بالا برای محاسبه حد استفاده می کنیم و خواهیم داشت :
[math]\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {3x} \right] + 2\left[ x \right] – \left[ {{x^2}} \right] \\ x \to {2^ + } \Rightarrow 3x \to {6^ + } \\ x \to {2^ + } \Rightarrow {x^2} \to {4^ + } \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {3x} \right] + 2\left[ x \right] – \left[ {{x^2}} \right] = \left[ {{6^ + }} \right] + 2\left[ {{2^ + }} \right] – \left[ {{4^ + }} \right] = 6 + 4 – 4 = 6\\ \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left[ {3x} \right] + 2\left[ x \right] – \left[ {{x^2}} \right] \\ x \to {2^ – } \Rightarrow 3x \to {6^ – } \\ x \to {2^ – } \Rightarrow {x^2} \to {4^ – } \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left[ {3x} \right] + 2\left[ x \right] – \left[ {{x^2}} \right] = \left[ {{6^ – }} \right] + 2\left[ {{2^ – }} \right] – \left[ {{4^ – }} \right] = 5 + 2 – 3 = 4 \\[/math]
حد راست 2 واحد از حد چپ بیشتر است . پس گزینه 2 درست است.
5-مجموع حد چپ و راست
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f(x) = ({x^2} + 1)\left[ {{x^2} – 2} \right][/math]
کدام است ؟ ( آزاد-تجربی-82)
1)6 2)3 3)-3 4)-6
جواب :
طبق نکته 2 می دانیم که حد راست بصورت زیر است :
[math]x \to {\sqrt 2 ^ + } \Rightarrow {x^2} \to {2^ + } \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{{x^ 2 } \to {2^ + }} \left[ {{x^2} – {2}} \right] = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} ({x^2} + 1)\left[ {{x^2} – 2} \right] = (2 + 1)(0) = 0 \\[/math]
و اما حد چپ بصورت زیر است :
[math]x \to {\sqrt 2 ^ – } \Rightarrow {x^2} \to {2^ – } \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left[ {{x^2} – 2} \right] = \left[ {{2^ – } – 2} \right] = \left[ {{0^ – }} \right] = – 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ – }} ({x^2} + 1)\left[ {{x^2} – 2} \right] = (2 + 1)( – 1) = – 3 \\[/math]
پس مجموع حد چپ و راست برابر است با -3 است و گزینه 3 درست است.
6-هر گاه [math] f(x) = x – \left[ x \right] + \sin \frac{{\pi \left[ x \right]}}{2}[/math] اختلاف حد چپ و راست تابع در [math]x=4[/math] چیست ؟
جواب :
[math]\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} (x – \left[ x \right] + \sin \frac{{\pi \left[ x \right]}}{2}) \\ x \to {4^ + } \Rightarrow \left[ {{4^ + }} \right] = 4 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow 4 – \left[ {{4^ + }} \right] + \sin \frac{{\pi \left[ {{4^ + }} \right]}}{2} = 4 – 4 + \sin \frac{{\pi 4}}{2} = 0 + \sin 2\pi = 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} (x – \left[ x \right] + \sin \frac{{\pi \left[ x \right]}}{2}) \\ x \to {4^ – } \Rightarrow \left[ {{4^ – }} \right] = 3 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow = (4 – \left[ {{4^ – }} \right] + \sin \frac{{\pi \left[ {{4^ – }} \right]}}{2} = 4 – 3 + \sin \frac{{3\pi }}{2} = 1 + \sin\frac{{3\pi }}{2} = 1 – 1 = 0 \\[/math]
پس اختلاف حد چپ و راست برابر صفر است.
7-به ازای چه مقادیری از [math]a[/math] تابع [math] f(x) = a\left[ x \right] + \left[ {x + 1} \right][/math] در نقطه [math]x=1[/math] حد دارد ؟
جواب :اولا چون تابع ما دارای جزء صحیح است ، اگر چه در مساله گفته نشده ، اما ما اینجا باید حد چپ و راست را محاسبه کنیم و همچنین چون گفته باید حد داشته باشد پس حد چپ و راست باید برابر باشند پس داریم :
[math]\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a\left[ x \right] + \left[ {x + 1} \right] = a\left[ {{1^ + }} \right] + \left[ {{2^ + }} \right] = a + 2 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} a\left[ x \right] + \left[ {x + 1} \right] = a\left[ {{1^ – }} \right] + \left[ {{2^ – }} \right] = a \times 0 + 1 = 1 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow a + 2 = a \to a = – 1 \\[/math]
8-حاصل حد [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + 1)\left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right][/math] کدام است ؟(سراسری-ریاضی-81)
1)-1 2)صفر 3)[math] \frac{1}{2}[/math] 4)1
جواب:
[math]\left\{ \begin{array}{l} x \to {1^ – } \Rightarrow x + 1 \to {2^ – } \Rightarrow \frac{1}{{x + 1}} \to {\frac{1}{2}^ – } \Rightarrow \left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right] = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + 1)\left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right] \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + 1)\left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right] = ({1^ – } + 1) \times 0 = 0 \\[/math]