تابع چند جمله ای و تابع چند جمله ای درجه دوم
تابع چند جمله ای:
به هر تابع که ضابطه آن یک چند جمله ای جبری بر حسب یک متغیر مانند [math]x[/math] باشد تابع چند جمله ای گفته می شود. فرم کلی تابع چند جمله ای به صورت زیر است :
[math] f(x) = a{x^n} + b{x^{n – 1}} + … + k[/math]
دقت کنید که در فرم بالا توان فقط اعداد طبیعی است [math] (n \in N)[/math] همچنین [math]n=0[/math] توان می تواند صفر باشد .در این توابع چند جمله ای [math]x[/math] هر مقداری می تواند باشد یعنی در تمام توابع چند جمله ای دامنه تابع [math]R[/math] است .همچنین مقادیر [math]a,b,…k[/math] اعدادی حقیقی هستند که می توانند هر مقدار حقیقی را بگیرند.اما [math]n[/math] می تواند زوج یا فرد و حتی می تواند صفر باشد .اگر [math]n=0[/math] صفر شود تابع ما بصورت [math]f(x)=k[/math] خواهد بود که یک تابع ثابت است و در مطالب قبلی در مورد آن صحبت کردیم .هر کدام از توابع زیر حالت خاصی از توابع چند جمله ای است.
[math] f(x) = a{x^n} + b{x^{n – 1}} + … + k[/math] |
|
تابع ثابت | [math] n = 0 \Rightarrow f(x) = K [/math] |
تابع خطی | [math] n = 1 \Rightarrow f(x) = ax + b [/math] |
تابع همانی | [math] n = 1,k = 0 \Rightarrow f(x) = x [/math] |
تابع چند جمله ای درجه دوم | [math] n = 2 \Rightarrow f(x) = a{x^2} + bx + k [/math] |
هر یک از توابع زیر ،یک تابع چند جمله ای هستند .
[math]f(x) = 2{x^2} + 6x + 9\\f(z) = 2{z^3} – 1\\f(t) = \frac{1}{2}{t^4} + t – \sqrt 3 \\[/math]
مثال :در تابع [math] f(x) = {x^4} – 3{x^3} + {x^2} + 1[/math] مقادیر [math] f( – 1),f(0),f(2)[/math] را بدست اورید.
[math]f(x) = {x^4} – 3{x^3} + {x^2} + 1\\f( – 1) = {( – 1)^4} – 3{( – 1)^3} + {( – 1)^2} + 1 = 1 + 3 + 1 + 1 = 6\\f(0) = {(0)^4} – 3{(0)^3} + {(0)^2} + 1 = 1\\f(2) = {(2)^4} – 3{(2)^2} + {(2)^2} + 1 = 16 – 12 + 4 + 1 = 9\\[/math]
تابع چند جمله ای درجه دوم :
تابع چند جمله ای درجه دوم حالتی خاص از تابع چند جمله ای است که به صورت :
[math] f(x) = a{x^2} + bx + c[/math]
می باشد.
نمودار این تابع معمولا بصورت :
شکل نمودار این تابع به یکی از صورتهای فوق است .که به نمودار آن سهمی گفته می شود.ما در بخش معادلات درجه دوم مفصل در مورد سهمی صحبت کردیم.
دامنه تابع درجه دوم همواره برابر با [math]R[/math] است .
برای بدست آوردن برد تابع درجه دوم ، باید راس سهمی را بدست آوریم.
[math] f(x) = a{x^2} + bx + c[/math]
1-اگر [math]a[/math] مثبت باشد،عرض نقطه سهمی [math] y= a{x^2} + bx + c[/math] کمترین مقدار برد تابع خواهد بود.
[math] y = \frac{{ – \Delta }}{{4a}} \Rightarrow {R_f} = [\frac{{ – {b^2} + 4ac}}{{4a}}, + \infty ) [/math]
2-اگر اگر [math]a[/math] منفی باشد،عرض نقطه سهمی [math] y= a{x^2} + bx + c[/math] بیشترین مقدار برد تابع خواهد بود.
[math] y = \frac{{ – \Delta }}{{4a}} \Rightarrow {R_f} = ( – \infty ,\frac{{ – {b^2} + 4ac}}{{4a}}][/math]
3-یادتون باشه که همواره مختصات راس سهمی بصورت
[math] \left( {\frac{{ – b}}{{2a}},\frac{{ – \Delta }}{{4a}}} \right)[/math]
مثال:نمودار تابعی ، یک سهمی است که از نقاط [math] \left( {1, – 2} \right),\left( {2, – 3} \right)[/math] می گذرد، و محور y ها را در نقطه ای به عرض 1 قطع می کند .نمایش جبری این تابع را بنویسید و نمودار آن را رسم و دامنه و برد آن را مشخص کنید.
[math] a{x^2} + bx + c[/math]
چون گفته در محور y ها را در نقطه ای به عرض 1 قطع می کند یعنی نقطه
[math] \left( {0,1} \right)[/math] صدق کند یعنی اگر در معادله درجه دوم به جای x صفر قرار دهیم حاصل عدد یک می شود .
[math] f(x) = a{x^2} + bx + c\\f(0) = 1 \Rightarrow a{(0)^2} + b(0) + c = 1 \Rightarrow c = 1[/math]
تا اینجا فرم معادله ما بصورت رو به رو می شود
[math] f(x) = a{x^2} + bx + 1[/math]
اکنون مختصات دو نقطه را در معادله قرار می دهیم:
[math]f(x) = a{x^2} + bx + 1\\\left( {1, – 2} \right) \Rightarrow f(1) = – 2 \Rightarrow a + b + 1 = – 2\\\left( {2, – 3} \right) \Rightarrow f(2) = – 3 \Rightarrow 4a + 2b + 1 = – 3\\[/math]
از حل دستگاه فوق مقادیر a,b را بدست می آوریم
[math]\left\{ \begin{array}{l}a + b = – 3\\4a + 2b = – 4\end{array} \right\} \Rightarrow a = 1,b = – 4[/math]
پس معادله درجه دوم ما بصورت زیر خواهد بود :
[math] f(x) = {x^2} – 4x + 1[/math]
همانطور که در مورد توابع درجه دوم گفتیم دامنه این تابع R است اما برای بدست آوردن برد تابع باید راس سهمی را بدست آوریم .
1-می دانیم که در معادله بدست آمده [math] f(x) = {x^2} – 4x + 1[/math] مقدار [math]a=1[/math] مثبت است پس دهانه سهمی رو به بالا است و راس سهمی کمترین مقدار برد تابع خواهد بود.
2-اکنون مختصات راس سهمی را بدست می آوریم ،البته مهمترین قسمتش y است
[math]f(x) = {x^2} – 4x + 1\\y = \frac{{ – \Delta }}{{4a}} \Rightarrow {R_f} = [\frac{{ – {b^2} + 4ac}}{{4a}}, + \infty )\\\\\Delta = {b^2} – 4ac = {( – 4)^2} – 4(1)(1) = 16 – 4 = 12 \Rightarrow – \Delta = – 12\\y = \frac{{ – \Delta }}{{4a}} = \frac{{ – 12}}{4} = – 3\\ [/math]
پس برد تابع :
[math] {R_f} = [\frac{{ – {b^2} + 4ac}}{{4a}}, + \infty ) = [3, + \infty )[/math]