اصل ضرب (و)
پوریا قصد دارد به خاطر تولدش ،دوستش امین را دعوت کند. او می خواهد امین را هم به رستوران و هم به آب میوه فروشی ببرد. در رستوران از بین غذاهای موجود یک غذا را انتخاب کند و سپس در آّ میوه فروشی هم از بین آب میوه های موجود یکی را انتخاب کند . منوری رستوران
1 | خورشت قیمه |
2 | خورشت قرمه سبزی |
منوی آب میوه فروشی
1 | آّب هویج |
2 | آب پرتقال |
3 | آب سیب |
ابتدا پوریا دوستش امین را به رستوران می برد امین اینجا دو انتخاب دارد .
تا اینجای کار امین دوتا انتخاب می تواند داشته باشد به تعبیری دیگر او دو انتخاب دارد.
پس از آن به آبمیوه فروشی می روند و در این مرحله دوم که بلافاصله پس از مرحله اول میاد این برای هر حالت ما سه انتخاب داریم :
یعنی اگر بخواهیم کل حالتها را بصورت زوج مرتب بنویسیم هر کدام از زوج مرتبهای ما نشان دهنده حالت انتخاب امین است .
{(قیمه ،هویج)،(قیمه،سیب)،(قیمه،پرتقال)،(قورمه،هویج)،(قورمه،سیب)،(قورمه،پرتقال)}
ما شش حالت برای انتخاب داریم .
مرحله اول انتخاب غذا 2 انتخاب داریم و سپس در مرحله دوم انتخاب آب میوه 3 انتخاب داریم . این دو عمل مستقل از هم هستند ، اما به ترتیب و به دنبال هم هستند پس کل حالتهای ممکن ما :
[math] 2 \times 3 = 6[/math]
با این مقدمه حالا می رسیم به تعریف اصل ضرب
اصل ضرب
اگر انجام کاری شامل دو مرحله باشد ، به طوری که مرحله اول [math]m[/math] روش قابل انجام باشد و سپس برای هر کدام از این [math]m[/math] روش ، مرحله دوم را به توان به [math]n[/math] روش انجام داد ، آنکاه کل آن عمل با هم به تعداد [math] m \times n [/math] روش قابل انجام است .
من تعریف ساده تری ارایه می دهم:
فرض کنید نحوه انجام کاری را به توان به 2 مرحله تجزیه کرد ، مرحله اول را ما می توانیم به [math]m[/math] روش انجام دهیم و به ازای هر روش انجام مرحله اول ، مرحله دوم را می توانیم به [math]n[/math] روش دیگر انجام دهیم در این صورت کل کار را به [math] m \times n [/math] روش می توان انجام داد .
مثال1 : فردی می خواهد با اتومبیل خود ار تهران به اصفهان برود .برای این سفر حتما باید از استان قم عبور کند . اگر از تهران به قم دو مسیر [math]a,b[/math] و از قم به اصفهان سه مسیر متفاوت [math]1,2,3[/math] وجود داشته باشند .این فرد به چند طریق می تواند از تهران به اصفهان سفر کند ؟
از تهران تا قم دو انتخاب داریم و از قم تا اصفهان هم سه انتخاب دگیر پس بنابر اصل ضرب تعداد حالت ها عبارت است:
[math] 2 \times 3 = 6[/math]
مثال 2: علی پنج شلوار دارد و چهار پیراهن .او به چند طریق می تواند شلوار و پیراهن را بپوشد ؟
اینجا خیلی ساده است ما دو مرحله داریم . یک مرحله انتخاب شلوار و مرحله بعد انتخاب پیراهن پس بنابر اصل ضرب :
[math] 5 \times 4 = 20[/math]
تعمیم اصل ضرب
اصل ضرب را میتوان برای n کار نیز تعریف کرد. در واقع اگر کار ۱ به [math] {m_1} [/math] روش قابل انجام باشد و به ازای هر حالت انجام کار ۱، کار ۲ به [math] {m_2} [/math] روش قابل انجام باشد و به ازای هر حالت انجام کارهای ۱ و ۲، کار ۳ به [math] {m_3} [/math] روش قابل انجام باشد و … و به ازای هر حالت انجام کارهای ۱ تا n−1، کار n به [math] {m_n} [/math] روش قابل انجام باشد، تعداد روشهای انجام این n کار با هم،
[math] {m_1} \times {m_2} \times {m_3} \times … \times {m_n}[/math]
مثال: راههای ارتباطی بین چهار شهر همدان،تهران،نیشاپور و مشهد مانند شکل زیر است (جادهها، دوطرفه هستند
به چند طریق میتوان با استفاده از این جادهها، از همدان به مشهد رفت؟
به ۴ حالت از همدان به تهران میرویم. سپس با ۲ حالت از تهران به نیشاپور و با ۳ حالت از نیشاپور به مشهد میرویم پس طبق اصل ضرب پاسخ برابر:
[math]4 \times 2 \times 3 = 24[/math]
به چند طریق میتوان با استفاده از این جادهها، از از همدان به مشهد و به همدان برگشت؛ طوری که از هیچ جادهای دو بار عبور نکنیم؟
ابتدا به ۴ حالت از همدان به تهران میرویم. سپس با ۲ حالت از تهران به نیشاپور و با ۳ حالت از نیشاپور به مشهد میرویم. در راه بازگشت، از ۳ جادهی بین مشهد و نیشاپور، از یکی حق نداریم استفاده کنیم. پس ۲ حالت دارد. به همین ترتیب بازگشت از نیشاپور به تهران، ۱ حالت و بازگشت از تهران به همدان، ۳ حالت دارد. پس طبق اصل ضرب پاسخ برابر
[math] 4 \times 2 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 = 144[/math]
مثال 2: در یک دبیرستان شورای دانش آموزی داریم . اعضای این شورا متشکل از 5 نفر دانش آموز پایه نهم ،6 نفر دانش آموز پایه دهم ،3 نفر دانش اموز پایه یازدهم و 7 نفر دانش آموز پایه دوازدهم است.اگر بخواهیم یک شورای فرعی تشکیل دهیم که 4 نفری از دانش آموزان پایه های مختلف در آن هستند انتخاب شود این کار به چند طریق می توان انجام داد؟
طبق تعمیم اصل ضرب :
[math] 5 \times 6 \times 3 \times 7 = 630[/math]
مثال 3 : الف)به سه رقم [math]2,3,5[/math] چند عدد سه رقمی می توان نوشت ؟
اعداد سه رقمی مانند [math]235,352,523[/math] اینها سه نمونه از اعداد سه رقمی هستند که ما می توانیم به کمک این سه عدد ایجاد کنیم . خوب برای این کار می دانیم که نوشتن عدد سه رقمی یعنی پر کردن سه جایگاه بصورت زیر است :
یعنی این کار سه مرحله دارد و هر مرحله آن باید انجام شود ،هر جایگاه هم می تواند با هر کدام از عددهای [math]2,3,5[/math] پر شود .
لذا ما اینجا طبق تعمیم اصل ضرب :
[math] 3 \times 3 \times 3 = 27[/math]
27 حالت داریم . در واقع یعنی 27 عدد سه رقمی می توان با این سه رقم ساخت.
در بالا تمام حالتهایی که می توان با سه رقم [math]2,3,5[/math] اعداد سه رقمی نوشت را نشان داده ایم. و محاسبه کردیم که 27 عدد سه رقمی می توان نوشت.حالا میخواهیم کمی مساله را پیچیده تر کنیم و حالتهای خاص را بررسی کنیم.
ب)با همان سه رقم [math]2,3,5[/math] چند عدد سه رقمی می توان ساخت که رقم تکراری نداشته باشد ؟
برای پر کردن جایگاه اول از سمت چپ (صدگان) ما سه حالت داریم .در واقع خانه اول سه حالت دارد.
اما خانه دوم با توجه با اینکه خانه قبلی با عددی پر شده پس این عدد دیگه در خانه دوم نمی تواند قرار بگیرد پس خانه دوم ما 2 حالت خواهد داشت .
سرانجام برای پر کردن جایگاه سوم دیگه فقط یک عدد باقی مانده پس فقط یک حالت برای انتخاب داریم .
ج)با همان سه رقم [math]2,3,5[/math] چند عدد سه رقمی زوج می توان نوشت؟
جایگاه سمت راست فقط با عدد 2 می توان آن را پر کرد ، چون عدد زوج را از ما خواسته است .
در واقع جایگاه سمت راست (عدد یکان ) به یک روش پر می شود و آن هم فقط با عدد 2 است.پس کلا یک حالت بیشتر ندارد.اما دو جایگاه دیگر هر یک می تواند به 3 طریق پر شوند چون در اینجا تکرار اعداد مجاز است . لذا تعداد اعداد زوج در این حالت بنابر اصل ضرب برابر است با :
[math] 3 \times 3 \times 1 = 9[/math]
ج)با همان سه رقم [math]2,3,5[/math] چند عدد سه رقمی زوج با ارقام غیر تکراری می توان نوشت ؟
همانطور که در بالا گفتیم جایگاه یکان فقط با یک حالت و آن هم عدد 2 پر می شود.
پس از پر کردن جایگاه یکان با عدد 2 برای ما فقط 2 عدد باقی می ماند که در جایگاه وسط یعنی دهگان می تواند قرار بگیرد یا عدد 3 یا عدد 5 پس در این جایگاه فقط دو انتخاب داریم و سرانجام برای جایگاه سوم یعنی صد گان فقط یک حالت باقی می ماند . پس :
[math] 1 \times 2 \times 1 = 2[/math]