نقاط اکسترمم ماکزیمم و مینیمم نسبی و مطلق
اکسترمم های نسبی یک تابع
فرض کنید نمودار تغییرات دمای یک شهر در دو شبانه روز متوالی به صورت زیر به شما داده باشند .در این نمودار x نشان دهنده زمان و y نشان دهنده دما می باشد.
نمودار فوق را با دقت ببینید ،نقاط با طول 15 و 39 به گونه ای هستند که مقدار تابع در آنها نسبت به مقدار تابع در نقاط اطراف (همسایگی آن نقاط) بیشتر است .پس این نقاط ماکزیمم نسبی هستند.
اما حالا به نقاط با طول 3 و 27 توجه کنید ،مقدار تابع در این نقاط نسبت به نقاط اطراف(همسایگی) کمتر است در واقع اینها مینیمم نسبی هستند.
مینیمم نسبی تابع :
تابع [math]f[/math] در نقطه x=c مینیمم نسبی دارد هرگاه :
الف)بازه ای مانند [math](a,b)[/math] شامل نقطه c وجود داشته باشد که تابع روی آن تعریف شده باشد.
ب)به ازای هر x از این بازه [math] f(x) \ge f(c) [/math]
در صورت تحقق دو شرط بالا می گوییم [math]f(c)[/math] مقدار مینیمم نسبی تابع است و نقطه [math](c,f(c))[/math] را نقطه مینیمم نسبی تابع [math]f[/math] می گوییم.
تعریفی ساده تر :
هر وقت مقدار تابع در [math]x=c[/math] یعنی [math]f(c)[/math] از مقادیر تابع در نقاط همسایگی آن کوچکتر یا مساوی باشد :
[math] f(c) \le \mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) [/math]
در شکل مقابل تابع در همسایگی (اطراف) [math]x=c[/math] تعریف شده است و مینیمم نسبی دارد.
ماکزیمم نسبی تابع :
تابع [math]f[/math] در نقطه [math]x=c[/math] ماکزیمم نسبی دارد هرگاه :
الف)بازه ای مانند [math](a,b)[/math] شامل نقطه c وجود داشته باشد که تابع روی آن تعریف شده باشد.
ب)به ازای هر x از این بازه [math] f(x) \le f(c) [/math]
در صورت تحقق دو شرط بالا می گوییم [math]f(c)[/math] مقدار ماکزیمم نسبی تابع است و نقطه [math](c,f(c))[/math] را نقطه ماکزیمم نسبی تابع [math]f[/math] می گوییم.
به تعبیری ساده تر :
هر گاه تابع در [math]x=c[/math] یعنی [math]f(c)[/math] از مقادیر تابع در همسایگی آن (حد تابع) بزرگتر یا مساوی باشد .
[math] f(c) \ge \mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) [/math]
نقاط توپر بالا نقاط ماکزیمم نسبی هستند دقت کنید که تابع در همسایگی این نقاط تعریف شده است.
با توجه به تعریف که گفتیم اگر به نمودار داده شده بالا دقت کنیم نقاط [math](15,25)[/math] و[math](19,27)[/math] نقاط ماکزیمم نسبی هستند و نقاط [math](3,10)[/math] و [math](27,13)[/math] نقاط مینیمم نسبی .
در نمودار فوق برخی نقاط مینیمم نسبی و ماکزیمم نسبی روی نمودار نشان داده شده است .اگر دقت کنید نقطه K در نمودار بالا اگر چه مینیمم نسبی است اما از همه مینیمم های موجود کوچکتر است یعنی در واقع کوچکترین مینیمم نسبی نمودار است . خوب یعنی چی ؟ صبر کنید کم کم متوجه می شویم .
در نمودار تابع بالا [math]f(1)=5[/math] و نقطه [math](1,5)[/math] یک ماکزیمم نسبی است اما [math](-1,37)[/math] ماکزیمم نسبی نيست چون در انتهای بازه است و ما گفتیم ماکزیمم و مینیمم نسبی باید در همسایگی نقاطی باشد یعنی باید در یک بازه باشد.
نقطه [math](3,-27)[/math] مینیمم نسبی است و همچنین [math](0,0)[/math] یک مینیمم نسبی دیگر از نمودار تابع فوق است .اما اگر دقت کنید تابع در نقطه [math](3,-27)[/math] به پایین ترین نقطه رسیده یعنی در واقع این نقطه کمترین مینیمم نسبی را بین نقاط دیگر دارد خوب باز یعنی چی ؟
ماکزیمم و مینیمم مطلق
در بسیاری از مسائل فقط بیشترین و کمترین مقدار یک تابع در یک بازه اهمیت دارد .
ماکزیمم مطلق:
به بزرگترین مقدار تابع [math]f[/math] در یک بازه ماکزیمم مطلق می گویند.
مینیمم مطلق :
به کوچکترین مقدار تابع [math]f[/math] در یک بازه نیز مینیمم مطلق می گوییم.
با این تعریف نقاط ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق به ترتیب بالاترین و پایین ترین نقطه نمودار تابع در یک بازه داده شده هستند.
نکته مهم : گوییم تابع f در نقطه [math]x=c[/math] اکسترمم نسبی دارد هر گاه در این نقطه ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی داشته باشد و اگر در نقطه [math]x=c[/math] ماکزیمم مطلق یا مینیمم مطلق داشته باشد می گوییم در آن نقطه اکسترمم مطلق دارد.
در هر یک از نمودارهای زیر مقدار ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق و همچنین ماکزیمم و مینیمم نسبی را مشخص کنید :
نقطه ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی به گونه ای هستند که تابع باید در یک همسایگی آن نقاط تعریف شده باشد .اما برای نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق نیاز به تعریف تابع در همسایگی آن نیست . به مثالهای زیر دقت کنید و نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق را ببینید:
مثال :نقاط اکسترمم نسبی و مطلق تابع [math] f(x) = |{x^2} – 4| [/math] را بررسی کنید
ابتدا نمودار تابع را رسم می کنیم:
تابع فوق در نقطه [math]x=0[/math] دارای ماکزیمم نسبی است و مقدار آن برابر 4 است و ماکزیمم مطلق ندارد
در نقاط [math]x=2[/math] و [math]x=-2[/math] مینیمم مطلق و نسبی دارد که مقدار هر دو برابر صفر است .
سلام.اکسترممهای توابع دو متغیره رو ندارید؟
در حال حاضر نه ، اما جزو برنامه های آینده ما هست
با تشکر