تمرینات بخش گویا کردن کسرها
برای استفاده بهتر از این قسمت ایتدا بخش روشهای گویا کردن کسرها را مطالعه کنید ؛ سپس به سوالات زیر پاسخ دهید و انگاه با چوابها مطابقت نمایید و راه حل صحیح را یاد بگیرید.
سؤال 1
کسرهای زیر را گویا کنید
[math]1)\frac{5}{{\sqrt[7]{{{2^3}}}}}[/math]
صورت و مخرج کسر را باید در عبارت [math] \sqrt[7]{{{2^{7 – 3}}}} = \sqrt[7]{{{2^4}}}[/math] ضرب می کنیم
[math]\frac{5}{{\sqrt[7]{{{2^3}}}}} \times \frac{{\sqrt[7]{{{2^4}}}}}{{\sqrt[7]{{{2^4}}}}} = \frac{{5\sqrt[7]{{{2^4}}}}}{{\sqrt[7]{{{2^3}}} \times \sqrt[7]{{{2^4}}}}} = \frac{{5\sqrt[7]{{{2^4}}}}}{{\sqrt[7]{{{2^3} \times {2^4}}}}} = \frac{{5\sqrt[7]{{{2^4}}}}}{{\sqrt[7]{{{2^7}}}}} = \frac{{5\sqrt[7]{{{2^4}}}}}{2} [/math]
سؤال 2
[math]2)\frac{3}{{\sqrt {\frac{5}{2}} }}[/math]
برای حل این مساله ابتدا مخرج را مرتب می کنیم
[math]\frac{3}{{\sqrt {\frac{5}{2}} }} = \frac{3}{{\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} \\[/math]
پس از این مرحله اکنون می توانیم کسر را گویا کنیم
[math]\frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} \times \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}[/math]
سؤال 3
[math] 3)\frac{1}{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 2 }}[/math]
با استفاده از اتحاد مزدوج صورت و مخرج را در مزدوج ضرب می کنیم
[math]\frac{1}{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 2 }} \times \frac{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{{{{(5\sqrt 3 )}^2} – {{(3\sqrt 2 )}^2}}} \\= \frac{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{{75 – 18}} = \frac{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{{57}} \\[/math]
سؤال 4
[math]4)\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}[/math]
برای گویا کردن مخرج کسری شامل 2 رادیکال از اتحاد مزدوج استفاده می کردیم اما اگر مخرج 3 رادیکال فرجه 2 داشت از اتحاد مزدوج 2 بار استفاده می کنیم در این مثال نحوه کار را نشان می دهیم:
در عبارت بالا [math] \sqrt 2 [/math] را جمله اول و [math] \sqrt 3 + \sqrt 5[/math] را جمله دوم فرض می کنیم:
[math]\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 + (\sqrt 3 + \sqrt {5)} }}[/math]
اکنون باید در مزدوج ضرب کنیم
[math]\frac{1}{{\sqrt 2 + (\sqrt 3 + \sqrt 5 )}} \times \frac{{\sqrt 2 – (\sqrt 3 + \sqrt 5 )}}{{\sqrt 2 – (\sqrt 3 + \sqrt 5 )}} = \frac{{\sqrt 2 – (\sqrt 3 + \sqrt 5 )}}{{{2^2} – {{(\sqrt 3 + \sqrt 5 )}^2}}} \\\\= \frac{{\sqrt 2 – (\sqrt 3 + \sqrt 5 )}}{{ – 6 – 2\sqrt {15} }} \\[/math]
منفی را از عبارت بالا فاکتور می گیریم و سپس باز هم مخرج را در مزدوجش ضرب می کنیم:
[math]= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 5 – \sqrt 2 }}{{6 + 2\sqrt {15} }} \times \frac{{6 – 2\sqrt {15} }}{{6 – 2\sqrt {15} }} = \frac{{6\sqrt 5 – 2\sqrt {75} + 6\sqrt 3 – 2\sqrt {45} – 6\sqrt 2 + 2\sqrt {30} }}{{36 – 4(15)}} \\\\= \frac{{6\sqrt 5 – 2\sqrt {75} + 6\sqrt 3 – 2\sqrt {45} – 6\sqrt 2 + 2\sqrt {30} }}{{ – 24}} \\[/math]
سؤال 5
[math]5)\frac{1}{{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}}[/math]
برای گویا کردن مخرج کسر از اتحاد چاق و لاغر استفاده می کنیم
[math] {a^2} + ab + {b^2} = \sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{3} + 1 \to a – b = \sqrt[3]{3} – 1[/math]
اکنون برای گویا کردن به روش زیر عمل می کنیم:
[math]\frac{1}{{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{3} + 1}} \times \frac{{\sqrt[3]{3} – 1}}{{\sqrt[3]{3} – 1}} = \frac{{\sqrt[3]{3} – 1}}{{{{(\sqrt[3]{3})}^3} – {1^3}}} \\\\= \frac{{\sqrt[3]{3} – 1}}{{3 – 1}} = \frac{{\sqrt[3]{3} – 1}}{2} \\[/math]
سؤال 6
[math]6)\frac{1}{{\sqrt 2 – \sqrt[3]{4}}}[/math]
برای گویا کردن چنین کسری ابتدا از اتحاد چاق و لاغر و سپس از اتحاد مزدوج استفاده می کنیم
[math]{a^2} + ab + {b^2} = {(\sqrt 2 )^2} + \sqrt 2 \times \sqrt[3]{4} + {(\sqrt[3]{4})^2}[/math]
اکنون عبارت بالا را در صورت و مخرج ضرب می کنیم
[math]\frac{1}{{\sqrt 2 – \sqrt[3]{4}}} \times \frac{{{{(\sqrt 2 )}^2} + \sqrt 2 \times \sqrt[3]{4} + {{(\sqrt[3]{4})}^2}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} + \sqrt 2 \times \sqrt[3]{4} + {{(\sqrt[3]{4})}^2}}} = \frac{{2 + \sqrt 2 \times \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{{16}}}}{{{{(\sqrt 2 )}^3} – {{(\sqrt[3]{4})}^3}}} \\[/math]
اکنون در عبارت بالا چندتا ضرب داریم که باید محاسبه شوند :
[math]\sqrt 2 \times \sqrt[3]{4} = {2^{\frac{1}{2}}} \times {({2^2})^{\frac{1}{3}}} = {2^{\frac{1}{2}}} \times {2^{\frac{2}{3}}} = {2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}} = {2^{\frac{7}{6}}} = \sqrt[6]{{{2^7}}} = \sqrt[6]{{{2^6} \times 2}} =2 \sqrt[6]{2} \\[/math]
پس با توجه به عبارت بالا خواهیم داشت :
[math]\frac{{2 + \sqrt 2 \times \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{{16}}}}{{{{(\sqrt 2 )}^3} – {{(\sqrt[3]{4})}^3}}} = \frac{{2 + 2\sqrt[6]{2} + 2\sqrt[3]{2}}}{{2\sqrt 2 – 4}} \\\\= \frac{{2(1 + \sqrt[6]{2} + \sqrt[3]{2})}}{{2(\sqrt 2 – 2)}} = \frac{{1 + \sqrt[6]{2} + \sqrt[3]{2}}}{{\sqrt 2 – 2}} \\[/math]
اکنون در مزدوج مخرج ضرب می کنیم:
[math]\frac{{1 + \sqrt[6]{2} + \sqrt[3]{2}}}{{\sqrt 2 – 2}} \times \frac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 + 2}} = \frac{{(1 + \sqrt[6]{2} + \sqrt[3]{2}) \times (\sqrt 2 + 2)}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} – {{(2)}^2}}} = \frac{{(1 + \sqrt[6]{2} + \sqrt[3]{2}) \times (\sqrt 2 + 2)}}{{ – 2}} \\[/math]