الگوهای غیر خطی(درجه دوم و درجه سوم)
الگوهایی که جمله عمومی آنها درجه دوم است .
قبل از هر چیز یاداوری می کنم که فرم جمله درجه دوم بصورت زیر است :
[math] a{n^2} + bn + c[/math]
حالا باید از این استفاده کنیم تا فرمول دنباله ای را بدست آوریم که غیر خطی و درجه دوم است .اما سوال اول آن است که ما از کجا بفهمیم دنباله ما دارای جمله عمومی درجه 2 است .باز اینجا میریم سراغ یک مثال
مثال :جمله عمومی دنباله [math]1,4,8,13,19,26,..[/math] را بدست اورید.
گام اول بدست اوردن اختلاف هر دو جمله متوالی است .ما باید ببینیم که آیا اختلاف هر دو جمله متوالی عدد ثابتی و یکسان است در این صورت دنباله ما خطی و درجه یک خواهد بود ، پس گام اول من اختلاف هر دو جمله متوالی را حساب می کنم
شکل بالا را ببینید اختلاف هر دو جمله متوالی را بدست می آوریم ، همانطور که می بینید اختلاف هر دو جمله متوالی عدد ثابتی و یکسانی نیست پس این دنباله ، الگوی خطی (درجه یک) نیست ، حالا باید ببیینیم آیا درجه 2 است ، خوب برای این کار می رسیم به محاسبه اختلاف سطح دوم ( یعنی درو اقع همان اعداد قرمز رنگ مشخص شده در شکل بالا) در این سطح باید ببینیم آیا اختلاف جملات عدد ثابتی است اگر عدد ثابتی شد پس این الگو یک الگوی غیر خطی درجه 2 است .
اکنون به اختلاف موجود در سطح دوم دنباله فوق دقت کنید (عددهای سبز رنگ حاصل تفاضل عددهای قرمز رنگ هستند) می بینید که در این مرحله اختلاف هر دو جمله متوالی یک عدد ثابتی شد، پس این این الگو یک الگو غیر خطی و جمله عمومی آن درجه 2 است . حالا که فهمیدیم درجه 2 است اکنون نوبت به محاسبه جمله عمومی می رسد .می دانیم که معادله درجه 2 بصورت زیر است :
[math] a{n^2} + bn + c[/math]
من می دانم که جمله اول در دنباله فوق عدد 1 است پس :
[math] n = 1 \Rightarrow {t_1} = a{(1)^2} + b(1) + c = 1 \Rightarrow {t_1} = a + b + c = 1[/math]
جمله دوم در دنباله فوق عدد 4 است پس :
[math] n = 2 \Rightarrow {t_2} = a{(2)^2} + b(2) + c = 4 \Rightarrow {t_2} = 4a + 2b + c = 4[/math]
و سرانجام جمله سوم هم برابر عدد 8 است پس :
[math] n = 3 \Rightarrow {t_3} = a{(3)^2} + b(3) + c = 8 \Rightarrow {t_3} = 9a + 3b + c = 8[/math]
اکنون سه معادله و سه مجهول داریم :
[math]a + b + c = 1 \\4a + 2b + c = 4 \\9a + 3b + c = 8 \\[/math]
معادله اول را بصورت زیر می نویسیم :
[math] a + b + c = 1 \Rightarrow c = 1 – a – b[/math]
حالا این را در دو معادله دوم و سوم قرار می دهیم تا معادله ای بدست آید که فقط بر حسب a,b باشد .
[math]a + b + c = 1 \Rightarrow c = 1 – a – b \\\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 4 \\9a + 3b + c = 8 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + (1 – a – b) = 4 \\9a + 3b + (1 – a – b) = 8 \\\end{array} \right\} \\\\\left\{ \begin{array}{l}3a + b = 3 \\8a + 2b = 7 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}- 6a – 2b = – 6 \\8a + 2b = 7 \\\end{array} \right\} \to \\\\a = \frac{1}{2},b = \frac{3}{2},\left\{ {c = 1 – a – b} \right\} \Rightarrow (c = – 1) \\{t_n} = a{n^2} + bn + c \Rightarrow {t_n} = \frac{1}{2}{n^2} + \frac{3}{2}n – 1[/math]
اکنون می رسیم به بحث معادله درجه سوم
مثال :جمله عمومی دنباله [math]-2,0,7,26,64,…[/math] را بدست اورید.
ابتدا سطح اختلاف هر دو عدد متوالی را مطابق درجه دوم که در بالا توضیح دادیم بدست می اوریم.
پس این دنباله یک دنباله با جمله عمومی درجه 3 می باشد .
[math] a{n^3} + b{n^2} + cn + d[/math]
حالا هر جمله این دنباله بصورت زیر است :
[math]n = 1 \Rightarrow a + b + c + d = – 2 \\ n = 2 \Rightarrow 8a + 4b + 2c + d = 0 \\ n = 3 \Rightarrow 27a + 9b + 3c + d = 7 \\ n = 4 \Rightarrow 64a + 16b + 4c + d = 26 \\[/math]
از رابطه اول بالا داریم که :
[math] n = 1 \Rightarrow a + b + c + d = – 2 \Rightarrow d = – 2 – a – b – c[/math]
مقدار d بدست امده در بالا را در سه معادله بعدی جایگذاری می کنیم n=2 ,n=3,n=4 بصورت زیر خواهند بود سه معادله و سه مجهول
[math]7a + 3b + c = 2 \\ 26a + 8b + 2c = 9 \\ 63a + 15b + 3c = 28 \\[/math]
باز اینجا در معادله اول c را بدست می آوریم و در دو معادله دیگر جایگزاری می کنیم :
[math]\\ 7a + 3b + c = 2 \Rightarrow c = 2 – 7a – 3b \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} 26a + 8b + 4 – 14a – 6b = 9 \\ 63a + 15b + 6 – 21a – 9b = 28 \\ \end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l} 12a + 2b = 5 \\ 42a + 6b = 22 \\ \end{array} \right\} \to \\ \\ a = \frac{7}{6},b = – \frac{9}{2} \\ c = 2 – 7a – 3b \Rightarrow c = \frac{{44}}{6} \\ d = – a – b – c – 2 \Rightarrow d = – 6 \\ \\ {t_n} = \frac{7}{6}{n^3} – \frac{9}{2}{n^2} + \frac{{22}}{3}n – 6 \\ \\[/math]