انتگرال لگاریتم و تابع نمایی
انتگرال لگاریتم و تابع نمایی
می دانیم که مشتق تابع لگاریتم طبیعی [math](\ln x)’ = \frac{1}{x}[/math] از طرفی دیگر در درسهای گذشته یاد گرفتیم که :
[math]\int {\frac{1}{x}} dx = \ln |x| + C[/math]
هر گاه u تابعی مشتق پذیر بر حسب x باشد آنگاه رابطه های زیر برقرار خواهد بود :
[math]1)\int {\frac{1}{x}} dx = \ln |x| + C\\2)\int {\frac{1}{u}} du = \ln |u| + C[/math]
چون u تابعی بر حسب x است پس [math]du = u’dx[/math] یعنی عبارت 2 بالا به صورت زیر خواهد بود:
[math]\int {\frac{{du}}{u}} = \int {\frac{{u’}}{u}dx = } \ln |u| + C[/math]
مثال 1: انتگرال [math]\int {\frac{1}{{2x}}}[/math] را حساب کنید :
در اولین مرحله می دانیم که این انتگرال به صورت زیر می توان نوشت (عدد ثابت زیر انتگرال را می توان خارج کرد):
[math]\int {\frac{1}{{2x}}} dx = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{x}} dx[/math]
در مرحله بعد عبارت زیر انتگرال مطابق فرمول 1 برابر لگاریتم طبیعی است :
[math]\frac{1}{2}\int {\frac{1}{x}} dx = \frac{1}{2}\ln |x| + C[/math]
مثال2: انتگرال [math]\int {\frac{1}{{4x – 1}}} dx[/math] را حساب کنید :
با استفاده از تغییر متغیر می توان نوشت که : [math]u=4x-1[/math] و [math]du=4dx[/math] پس خواهیم داشت :
هر دو طرف عبارت انتگرال را در عدد 4 ضرب و تقسیم می کنیم |
[math]\int {\frac{1}{{4x – 1}}} dx = \frac{1}{4}\int {(\frac{1}{{4x – 1}})4dx}[/math] |
با تغییر متغیر [math]u=4x-1[/math] انتگرال روبرو خواهیم داشت |
[math]\frac{1}{4}\int {(\frac{1}{u})du}[/math] |
[math]\frac{1}{4}\ln |u| + C[/math] |
|
[math]\frac{1}{4}\ln |4x – 1| + C[/math] |
مثال3: انتگرال [math]\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x (1 – \sqrt x )}}}[/math] را حساب کنید :
با استفاده از تغییر متغیر می توان نوشت :
[math]u = 1 – \sqrt x \to du = – \frac{1}{{2\sqrt x }}dx[/math]
اول کسر داده شده را تفکیک می کنیم سپس در عدد منفی ضرب و تقسیم انجام می دهیم به صورت زیر :
[math]\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x (1 – \sqrt x )}}} = \int {\frac{1}{{\sqrt x }}} .\frac{1}{{1 – \sqrt x }}dx = – 2\int {\frac{{ – \frac{1}{2}.\frac{1}{{\sqrt x }}dx}}{{1 – \sqrt x }}} \\ = – 2\int {\frac{{\frac{{ – 1}}{{2\sqrt x }}dx}}{{1 – \sqrt x }}} = – 2\int {\frac{{u’}}{u}} dx\\= – 2\ln |u| + C = – 2\ln |1 – \sqrt x | + C[/math]
مثال 4: انتگرال [math]\int {\frac{{dx}}{{\sin x\cos x}}}[/math] را حساب کنید.
از روابط مثلثاتی می دانیم که :
[math]\sin 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}\\(\tan x)’ = 1 + {\tan ^2}x[/math]
اکنون با استفاده از این روابط مثلثاتی داریم که :
[math]\frac{1}{{\sin x\cos x}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}\sin 2x}} = \frac{{2(1 + {{\tan }^2}x)}}{{2\tan x}}[/math]
پس با توجه به محاسبات بالا انتگرال ما به صورت زیر خواهد بود که در این انتگرال عبارت صورت کسر در واقع مشتق مخرج هست پس :
[math]\int {\frac{{dx}}{{\sin x\cos x}}} = \int {\frac{{(1 + {{\tan }^2}x)dx}}{{\tan x}}} = \ln |\tan x| + C[/math]
مثال 5: انتگرال [math]\int {\frac{1}{{{x^4} + x}}dx}[/math] را حساب کنید.
این انتگرال را به راحتی می توان با استفاده از انتگرال لگاریتمی محاسبه کرد اگر از [math]{x^4}[/math] فاکتور بگیریم و انتگرال را به صورت زیر بازنویسی می کنیم :
[math]\int {\frac{1}{{{x^4} + x}}dx} = \int {\frac{1}{{{x^4}(1 + {x^{ – 3}})}}dx} = \int {\frac{{{x^{ – 4}}}}{{1 + {x^{ – 3}}}}dx}[/math]
اکنون کافیست از تغییر متغیر به صورت زیر استفاده کنیم :
[math]u = 1 + {x^{ – 3}} \to du = – 3{x^{ – 4}}dx[/math]
خواهیم داشت :
[math]\int {\frac{{{x^{ – 4}}dx}}{{1 + {x^{ – 3}}}}} = – \frac{1}{3}\int {\frac{{du}}{u}} = – \frac{1}{3}\ln |u| + C\\= – \frac{1}{3}\ln |1 + {x^{ – 3}}| + C[/math]
انتگرال توابع نمایی
می دانیم که چون [math]({e^x})’ = {e^x}[/math] بنابر این داریم :
[math]\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \\\int {{e^u}.u’dx = \int {{e^u}du = {e^u} + C} }[/math]
مثال 6: حاصل [math]\int {\frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{\sqrt x }}} dx[/math] را بدست آورید.
با استفاده از تغییر متغیر [math]u = \sqrt x \to du = \frac{1}{{2\sqrt x }}dx[/math] داریم :
اولین کاری که می کنیم انتگرال را در عدد 2 ضرب و تقسیم می کنیم
[math]\int {\frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{\sqrt x }}} dx = 2\int {{e^{\sqrt x }}\frac{1}{{2\sqrt x }}dx}[/math]
تغییر متغیر را اعمال می کنیم:
[math]2\int {{e^{\sqrt x }}\frac{1}{{2\sqrt x }}dx} = 2\int {{e^u}du = 2{e^u} + C}[/math]
و سرانجام نتیجه انتگرال :
[math]2{e^u} + C = 2{e^{\sqrt x }} + C[/math]
مثال 7: حاصل [math]\int {\frac{{{e^{2x}}}}{{{e^x} + 1}}dx}[/math] را بدست آورید.
با استفاده از تغییر متغیر داریم :
[math]u = {e^x} + 1 \to du = {e^x}dx[/math]
خواهیم داشت :
[math]\int {\frac{{{e^{2x}}}}{{{e^x} + 1}}dx} = \int {\frac{{{e^x}.{e^x}}}{{{e^x} + 1}}dx} = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}{e^x}dx} = \int {\frac{{u – 1}}{u}du} \\ = \int {(1 – \frac{1}{u})du = \int {du – \int {\frac{{du}}{u}} } } = u – \ln |u| + C\\ = {e^x} + 1 – \ln |{e^x} + 1| + C[/math]
مثال 8: حاصل [math]\int {{e^{ – x}}\tan ({e^{ – x}})dx}[/math] را بدست آورید.
ابتدا فرمول زیر را یادآوری می کنیم که :
[math]\int {\tan udu = – \ln |\cos u| + C}[/math]
اکنون تغییر متغیر زیر را اعمال می کنیم :
[math]u = {e^{ – x}} \to du = – {e^{ – x}}dx[/math]
تغییر متغیر را در انتگرال اعمال می کنیم:
[math]\int {{e^{ – x}}\tan ({e^{ – x}})dx} = – \int {\tan udu}[/math]
با توجه به فرمول انتگرال تانژانت که گفته شد خواهیم داشت :
[math]- \int {\tan udu} = – ( – \ln |\cos u|) + C = \ln |\cos u| + C\\\ln \cos |({e^{ – x}})| + C[/math]
انتگرال [math]{a^x}[/math]
می دانیم که مشتق این تابع به صورت [math]({a^x})’ = {a^x}.\ln a[/math] پس انتگرال ان به صورت زیر خواهد بود :
[math]a > 0,a \ne 1[/math] | [math]\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C}[/math] |
[math]a > 0,a \ne 1[/math] | [math]\int {{a^u}dx = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C}[/math] |
مثال 9:انتگرال [math]\int {{3^{2x}}dx}[/math] را حساب کنید.
ابتدا انتگرال را در عدد 2 ضرب و تقسیم می کنیم :
[math]\int {{3^{2x}}dx} = \frac{1}{2}\int {{3^{2x}}(2dx)}[/math]
با استفاده از تغییر متغیر داریم :
[math]u = 2x \to du = 2dx[/math]
پس انتگرال ما به صورت زیر خواهد شد:
[math]\frac{1}{2}\int {{3^{2x}}(2dx)} = \frac{1}{2}\int {{3^u}du = \frac{1}{2}.\frac{{{3^u}}}{{\ln 3}} + C} \\ = \frac{1}{2}.\frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} + C[/math]
مثال 10:انتگرال [math]\int {{2^x}{{.2}^{{2^x}}}dx}[/math] را حساب کنید.
ابتدا انتگرال را در ln2 ضرب و تقسيم مي كنيم
[math]\int {{2^x}{{.2}^{{2^x}}}dx} = \frac{1}{{\ln 2}}\int {{2^{{2^x}}}({2^x}\ln 2)dx}[/math]
با استفاده از تغییر متغیر داریم :
[math]u = {2^x} \to du = \ln {2.2^x}dx[/math]
پس خواهیم داشت:
[math]\frac{1}{{\ln 2}}\int {{2^{{2^x}}}({2^x}\ln 2)dx} = \frac{1}{{\ln 2}}\int {{2^u}du = } \frac{1}{{\ln 2}}.\frac{{{2^u}}}{{\ln 2}} + C\\ = \frac{{{2^{{2^x}}}}}{{{{(\ln 2)}^2}}} + C[/math]