حل معادله کسینوسی
حل معادله [math]Cosx=a[/math]
در این مطلب می خواهیم در مورد معادلات کسینوسی صحبت کنیم ،ابتدا نمودار کسینوس را یادآوری می کنیم.
همانطور که می بینید صفرهای این تابع یا به عبارتی نقاطی که [math]Cosx=0[/math] می شوند ،طبق نمودار فوق به ازای مقادیر زیر هستند :
[math] x = \{ …, – \frac{{5\pi }}{2}, – \frac{{3\pi }}{2}, – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2},…\} [/math]
تابع [math]y=Cosx[/math] به ازای x هایی که در بالا ذکر شدند ،محور x ها را قطع می کند و [math]y=Cosx=0[/math] خواهد بود .
اکنون بر اساس نمودار [math]y=Cosx[/math] می خواهیم معادله [math] y = Cosx = \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] را بررسی کنیم. یعنی میخواهیم بدانیم خط [math] y =\frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] کجا نمودار کسینوسها را قطع می کند .همچنین نمودار کسینوس در کدام نقاط برابر [math] \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] خواهد بود.
در نگاه اول ما می دانیم که [math] Cos\frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] است.پس در واقع جواب اولیه معادله ما
[math] Cosx = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = Cos\frac{\pi }{6} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} [/math]
اما این جواب تنها جواب معادله ما نیست.و ما به ازای دوران در دایره مثلثاتی ضریبهایی دیگر از این جواب را خواهیم داشت نمودار تابع کسینوس و خط [math]y= \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] را ببینید.
طبق شکل بالا خط [math]y= \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] نمودار تابع کسینوس را در نقاط متعددی قطع می کند که هر کدام از این نقاط جواب معادله [math]Cosx= \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] است.
مثلا طبق شکل نقاط زیر جواب معادله هستند :
[math] x = \{ …, – 4\pi – \frac{\pi }{6}, – 2\pi – \frac{\pi }{6}, – 2\pi + \frac{\pi }{6}, – \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6},2\pi – \frac{\pi }{6},2\pi + \frac{\pi }{6},4\pi – \frac{\pi }{6},4\pi + \frac{\pi }{6},…\} [/math]
اگر دقت کنید مثلا [math] 4\pi – \frac{\pi }{6},4\pi + \frac{\pi }{6} [/math] و همچنین نقاطی مانند [math] – 2\pi – \frac{\pi }{6}, – 2\pi + \frac{\pi }{6} [/math] جوابهای معادله ما هستند . در واقع اگر بخواهیم فرمی کلی برای جوابهای معادله [math]Cosx= \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] بنویسیم با توجه به نقاطی که در بالا بدست اوردیم فرم کلی جوابهای معادله بصورت :
[math] x = 2k\pi \pm \frac{\pi }{6} [/math]
که k یک عدد صحیح است .
اکنون میخواهیم با توجه به دایره مثلثاتی جواب این معادله [math]Cosx= \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] را بدست آوریم .دایره مثلثاتی زیر را ببینید:
در دایره بالا چه نقاطی [math]Cosx= \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] می باشد .با توجه به دایره فوق دو نقطه با مختصات [math] (\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{1}{2}),(\frac{{\sqrt 3 }}{2}, – \frac{1}{2}) [/math] جواب ما هستند که کسینوس در هر دو نقطه برابر [math] \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math] است .زاویه مثلثاتی در این دو نقطه بصورت زیر است :
[math] \frac{{11\pi }}{6} = 2\pi – \frac{\pi }{6},\pi \ [/math]
اکنون با توجه به اینکه ما در دایره مثلثاتی دورانهای مختلفی داریم پس جواب معادله ما برای دورانهای متعدد بصورت [math] 2k\pi – \frac{\pi }{6},2k\pi + \frac{\pi }{6} [/math] خواهد بود.
جمع بندی :
در یک دایره مثلثاتی رابطه بین کمان معلوم [math] \alpha [/math] و کمانهای مجهول x بطوری که [math] Cosx = Cos\alpha [/math] در دورانهای مختلف بصورت زیر است :
پس رابطه بین زوایه های [math] x,\alpha [/math] را با توجه به دایره مثلثاتی فوق به صورت زیر بدست می آوریم :
[math] Cosx = Cos\alpha \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\pi \pm \alpha \\k \in Z\end{array} \right\} [/math]
حالت خاص معادله کسینوسی
[math] Cosx = 0 \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi }{2}\\Cosx = 1 \Rightarrow x = 2k\pi \\Cosx = – 1 \Rightarrow x = 2k\pi + \pi [/math]
مثال 1: جوابهای معادله [math] Cosx = \frac{1}{2} [/math] را بدست آورید.
[math] Cosx = \frac{1}{2} \Rightarrow Cosx = Cos\frac{\pi }{3} \Rightarrow x = 2k\pi \pm \frac{\pi }{3} [/math]
مثال 2: جوابهای معادله [math] 4Co{s^2}x – 2Cosx = 0 [/math] را بدست آورید.
[math] 4Co{s^2}x – 2Cosx = 4Cosx(2Cosx – 1) = 0\\\left\{ \begin{array}{l}Cosx = 0 \to x = k\pi + \frac{\pi }{2}\\2Cosx – 1 = 0 \to Cosx = \frac{1}{2} = Cos\frac{\pi }{3} \to x = 2k\pi \pm \frac{\pi }{3}\end{array} \right\} [/math]
مثال 3: جوابهای معادله [math] \sin x\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{4} [/math] را بدست آورید.
برای حل معادله هر دو طرف را در 2 ضرب می کنیم
[math] 2 \times \sin x\cos x = 2 \times \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math]
از طرفی دیگر می دانیم که [math] \sin 2x = 2\sin x\cos x [/math] پس خواهیم داشت :
[math] \left\{ \begin{array}{l}2\sin x\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\sin 2x = 2\sin x\cos x\end{array} \right\} \to \sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = Sin\frac{\pi }{3}\\\\ [/math]
پس جواب معادله ما بصورت زیر خواهد بود:
[math] \sin 2x = Sin\frac{\pi }{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2k\pi + \frac{\pi }{3} \to x = k\pi + \frac{\pi }{6}\\2x = (2k + 1)\pi – \frac{\pi }{3} \to x = \frac{{(2k + 1)}}{2}\pi – \frac{\pi }{6}\end{array} \right\} [/math]
مثال 4: جوابهای معادله [math] \cos 2x – \cos x + 1 = 0 [/math] را بدست آورید.
می دانیم که [math] \cos 2x = 2{\cos ^2}x – 1 [/math] در معادله جایگزاری می کنیم :
[math] 2{\cos ^2}x – 1 – \cos x + 1 = 0\\2{\cos ^2}x – \cos x = 0 \to \cos x(2\cos x – 1) = 0 \Rightarrow \\\left\{ \begin{array}{l}\cos x = 0 \to x = k\pi + \frac{\pi }{2}\\2\cos x – 1 = 0 \to \cos x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3} \to x = 2k\pi \pm \frac{\pi }{3}\end{array} \right\} [/math]
مثال 5:معادله [math] \cos 2x + 5\sin x = 4 [/math] در بازه [math] \left[ {0,\pi } \right] [/math] چند ریشه دارد ؟
ابتد می دانیم که :[math] \cos 2x = 1 – 2Si{n^2}x [/math] پس در معادله جایگزاری می کنیم :
[math] 1 – 2Si{n^2}x + 5\sin x = 4 \to 2Si{n^2}x + 5\sin x + 3 = 0 [/math]
اگر در معادله فوق دقت کنیم یک معادله درجه دوم است که اگر [math]sinx=t[/math] قرار دهیم بصورت زیر خواهد بود :
معادله درجه دوم فوق دارای دو ریشه [math] 1,\frac{3}{2} [/math] است پس :
[math] \sin x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi }{2} \to x = \frac{\pi }{2} [/math]
به ازای [math] \sin x = \frac{3}{2} [/math] غیر قابل قبول است چون سینوس فقط مقادیر بین یک و منفی یک می گیرد.