تابع بخش سوم -تابع یک به یک
تابع یک به یک
1-تعریف تابع از دیدگاه زوج مرتب :فرض کنید زوج مرتبی داریم از مجموعه A به مجموعه B ، این زوج مرتب را نمایش دهنده یک تابع یک به یک می گوییم هر گاه که مولفه های دوم زوجهای مرتب یکسان نباشند .
نکته :در صورتی که مولفه های دوم برابر باشند حتما باید مولفه های اول نیز برابر باشند.
مثال 1: تابع با زوج مرتب [math]f={ (1,5),(3,6),(4,9)} [/math] یک تابع یک به یک است . زیرا هیچ کدام از زوجهای مرتب دارای مولفه های دوم یکسان نیستند .
مثال 2:اگر تابع [math] f = \{ (5,2),(k,1),( – 3,1),(k + 8,a + 1)\} [/math] یک به یک باشد ، آنگاه مقدار [math]a, k[/math] کدام است ؟
جواب طبق نکته گفته شد دو زوج مرتب [math](-3,1),(k,1)[/math] دارای مولفه ای دوم یکسان هستند پس مولفه های اول آنها نیز باید برابر باشد.پس [math]k=-3[/math] پس زوج مرتب ما بصورت زیر خواهد شد
[math]f=\{(5,2),(-3,1),(5,a+1)\}[/math]
چون f بک تابع است ،روج مرتبهای [math](5,2),(5,a+1)[/math] دارای مولفه اول یکسان هستند پس مولفه های دوم نیز برابرند پس
[math] a + 1 = 2 \to a = 1 [/math]
مثال 3:تابع با زوج مرتب [math]f={(1,5),(3,6),(4,8),(3,6)} [/math] یک تابع یک به یک است ، زیرا دو زوج مرتب که دارای مولفه های دوم یکسان هستند ، مولفه های اول آنها نیز یکسان است .
2-تعریف تابع یک به یک از دیدگاه نمودار ون :از دیدگاه نمودار ون تابعی یک به یک است که در مجموعه دوم که پیکانها به سمت آن وارد می شود ، برای هر عضو مجموعه پایانی (دوم) حداکثر و فقط و فقط یک پیکان وارد شود .
مثال 1:
تابع با نمودار بالا یک تابع یک به یک است چرا که در مجموعه پایانی (مجموعه B ) برای هر عضو آن فقط یک پیکان ورودی داریم .
مثال 2: تابع زیر با نمودار مشخص شده یک به یک نیست زیرا در مجموعه پایانی برای یکی از اعضا دو پیکان ورودی داریم .
3-تعریف تابع یک به یک از لحاظ ریاضی :
اگر A مجموعه اعداد و B مجموعه اعداد دوم باشد و f تابعی باشد از مجموعه A به مجموعه B آنگاه این تابع را یک به یک می گوییم هر گاه بتوان به یکی از دو عبارت زیر باشد
[math] {x_2},{x_1} \in {D_f}|f({x_2}) = f({x_1}) \to {x_1} = {x_1}[/math]
[math] {x_2},{x_1} \in {D_f}|{x_2} \ne {x_1} \to f({x_2}) \ne f({x_1})[/math]
مثال 1 : آیا تابع با ضابطه [math]y=3x+2[/math] یک به یک است ؟
جواب :
[math] f({x_1}) = f({x_2}) \to 3{x_1} + 2 = 3{x_2} + 2 \to 3{x_1} = 3{x_2} \to {x_1} = {x_2}[/math]
پس تابع یک به یک است .
نکته :یک تابع چند ضابطه ای زمانی یک به یک است که دو شرط برقرار باشند
1-هر یک از ضابطه های آن جداگانه یک به یک باشند
2-اشتراک برد ضابطه ها تهی باشند.
مثال 1: آیا تابع با ضابطه زیر یک به یک است؟
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2}} & {x \ge 0} \\ { – {x^2}} & {x < 0} \\\end{array}} \right\} \\ 1 – \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = {x^2} \to f({x_1}) = f({x_2}) \to {x_1}^2 = {x_2}^2 \to {x_1} = \pm {x_2} \\ ({x_1},{x_2} \ge 0) \\\end{array} \right] \to {x_1} = {x_2} \\ 2 – \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = – {x^2} \to f({x_1}) = f({x_2}) \to – {x_1}^2 = – {x_2}^2 \to {x_1}^2 = {x_2}^2 \to – {x_1} = – {x_2} \to {x_1} = {x_2} \\ ({x_1},{x_2} \le 0) \\ \end{array} \right] \\[/math]
ضابطه های فوق هر دو یک به یک هستند
با توجه به ایکه اشتراک برد انها تهی است پس کلا یک به یک است . برد ضابطه اول برابر با
[math] {R^ + } \cup \{ 0\} [/math]
. برد ضابطه دوم برابر است با
[math] {R^ – } [/math]
و مشخص است که اشتراک این دو تهی است.
4-تشخیص تابع یک به یک از رسم نمودار تابع : برای اینکه نمودار تابعی یک به یک باشد ،هر خط موازی محور x ها نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع کند
مثال:کدام یک از نمودار های زیر تابعی یک به یک است ؟
شکل 1: یک به یک نیست چون اگر خطی موازی محور x ها رسم کنیم نمودار را در دو نقطه قطع می کند
شکل 2 و 3 : یک به یک است چون خط موازی محور x ها نمودار را در یک نقطه قطع می کند
در شکل زیر خطی موازی محورx ها رسم کردیم و نقاط تقاطع این خط(خط قرمز رنگ) را با نمودارها نشان داده ایم.
نمونه سوالات و تستهای کنکور بخش
1-آیا تابع [math] f(x) = {x^2} – 2x[/math] یک به یک است ؟ (امتحان نهایی حسابان –خرداد 93)
2-آیا تابع [math] f(x) = \frac{{x – 1}}{2x + 3} [/math] یک به یک است ؟ ( امتحان میان ترم دبیرستان صادقیه)
3-تابع f با ضابطه زیر داده شده است ثابت کنید که این تابع در بازه [math] ( – \infty ,2)[/math] یک به یک است.(امتحان نهایی حسابان سال 85)
4- نشان دهید تابع f با ضابطه [math] f(x) = \sqrt {2x – 3} [/math] یک به یک است .(امتحان نهایی حسابان دی ماه 87)
5-ثابت کنید تابع [math] f(x) = \frac{{x – 1}}{x} [/math] یک به یک است.
6-نابع با ضابطه زیر بر روی مجموعه اعداد حقیقی چگونه است ؟ )کنکور سراسری رشته ریاضی 89)
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} – 1} & {x \ge 0} \\ {1 – {x^2}} & {x < 0} \\ \end{array}} \right\} \\[/math]
1)پوشا –یک به یک 2)پوشا –غیر یک به یک 3)غیر پوشا –یک به یک 4)غیر پوشا –غیر یک به یک
7-تابع با ضابطه زیر چگونه است ؟ (کنکور سراسری –رشته ریاضی 85)
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt x } & {x \ge 0} \\ {2 + x} & {x < 0} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
1)یک به یک –پوشا 2)یک به یک –غیر پوشا 3)غیر یک به یک – پوشا 4)غیر یک به یک – غیر پوشا
8-اگر تابع [math] f = \{ (m,3),( – 2,4),(2m,a),( – 1,3)\} [/math] یک به یک باشد ، [math]a[/math]کدام است ؟(سنجش جامع رشته تجربی 92)
1)4- 2)1- 3)2 4)4
9-تابع [math] f:[ – 4,4] \to [ – 4,4][/math] با ضابطه [math] f(x)=[x][/math] چگونه است ؟ (سراسری تجربی خارج از کشور 87)
1)یک به یک –پوشا 2)یک به یک – غیر پوشا
3)غیر یک به یک –پوشا 4)غیر یک به یک – غیر پوشا
10-تابع [math]f[/math] با نمودار شکل مقابل چه تابعی است ؟ (سراسری تجربی 84)
1)یک به یک –پوشا
2)غیر یک به یک –پوشا
3)یک به یک – غیر پوشا
4)غیر یک به یک – غیر پوشا
برای دیدن جواب سوالات و تستهای کنکور اینجا را کلیک کنید