تانژانت
تانژانت
تانژانت [math]tan[/math] یکی از نسبتهای مثلثاتی مشابه سینوس و کسینوس است .
تعریف
تانژانت در مثلث قائمالزاویه چنین تعریف میشود: نسبت ضلع مقابل هر زاویهٔ حاده به ضلع مجاور آن.
به عنوان مثال، در مثلث روبرو، تانژانت زاویهٔ تتا برابر است
[math] \tan \theta = \frac{{BC}}{{AC}} [/math] |
تانژانت به عنوان یک تابع
تانژانت برای زوایا تعریف میشود. اگر بخواهیم آن را به عنوان یک تابع در نظر بگیریم، ورودی آن یک زاویه و خروجی آن یک عدد است.
برای اینکار حدود تغییرات تانژانت را در دایره مثلثاتی مورد بررسی قرار می دهیم .
محور تانژانت
در دایره مثلثاتی فوق محور سینوسها و کسینوسها مشخص شده است . ما می دانیم که سینوسها در دایره مثلثاتی روی محور y ها و کسینوس ها روی محور x ها قرار می گیرند .تانژانت هم ضلع روبرو تقسیم بر ضلع مجاور است پس در دایره مثلثاتی فوق تانژانت بتا برابر است با :
[math] \tan \beta = \frac{{Sin\beta }}{{Cos\beta }} [/math]
در فیلم زیر تغییرات زاویه بتا و سینوس و کسینوس را نشان می دهیم .
اما حالا که فهمیدیم سینوس محور y است و کسینوس هم محور x است . چطور می توانیم برای تانژانت هم محوری در نظر بگیریم .
در شکل فوق خط آبی رنگ محور کسینوسها و خط سبز رنگ محور سینوسها را نشان می دهد .اکنون میخواهیم زاویه آلفا و تانژانت این زاویه را حساب کنیم . ببینید چون دایره مثلثاتی است . پس شعاع آن برابر یک است یعنی اندازه خط om برابر یک است . خوب تا اینجا طبق توضیحاتی که دادیم در مثلث OMB تانژانت زاویه آلفا برابر :
[math] \tan \alpha = \frac{{BM}}{{OB}} = \frac{{Sin\alpha }}{{Cos\alpha }} [/math]
حالا ما میخواهیم مطالبق شکل بالا میخواهیم ببینیم که چگونه می توان هم برای تانژانت محور تعریف کرد و هم اینکه چگونه تانژانت آلفا برابر ضلع [math]AM’[/math] می شود .
ببینید ما در بالا این خط [math]AM’[/math] را به صورت عمود بر محور x ها یا همان محور کسینوسها رسم کرده ایم پس اینجا ما دوتا مثلث قائم الزاویه خواهیم داشت یکی مثلث قائم الزاویه OBM است که زاویه B آن قائمه است و دیگری مثلث [math]OAM’[/math] که زاویه A در این مثلث قائمه است . از طرفی دیگر زاویه آلفا در این دو مثلث مشترک است. پس این دو مثلث با هم متشابه و متناسب هستند.
[math] \frac{{BM}}{{AM’}} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{{OM}}{{OM’}} [/math]
و چون می دانیم که : [math] OA = OM = 1 [/math] خواهیم داشت :
[math] \frac{{BM}}{{AM’}} = \frac{{OB}}{1} = \frac{1}{{OM’}} [/math]
همچنین می دانیم طبق شکل بالا :[math] OB = Cos\alpha ,BM = Sin\alpha [/math]
پس :
[math] \frac{{Sin\alpha }}{{AM’}} = \frac{{Cos\alpha }}{1} = \frac{1}{{OM’}} [/math]
و سرانجام خواهیم داشت که :
[math] \frac{{Sin\alpha }}{{AM’}} = \frac{{Cos\alpha }}{1} \Rightarrow \frac{{Sin\alpha }}{{Cos\alpha }} = \frac{{AM’}}{1} \Rightarrow AM’ = \tan \alpha [/math]
پس می توان گفت که تانژانت هر زاویه دلخواه مانند [math] \alpha [/math] به همین ترتیب از برخورد امتداد ضلع دوم آن زاویه با خط [math]TAT’[/math] تعیین می شود. بنابر این خط [math]TAT’[/math] را محور تانژانت می نامیم و نقطه A مبدا این محور است و جهت مثبت محور ،از پایین به سمت بالا است.
تغییرات تانژانت
ناحیه اول :
اگر زاویه صفر درجه باشد یعنی در مبدا محور تانژانت باشد مقدار تانژانت آن زاویه نیز برابر صفر است و با افزایش اندازه [math] \alpha [/math] مقدار تانژانت نیز افزایش می یابد .
البته در ربع اول ما از صفر شروع می کنیم تا به [math] \frac{\pi }{2} [/math] برسیم.
مقدار | درجه | رادیان | [math]tan[/math] |
[math]0[/math] | [math]0[/math] | [math]0[/math] | |
[math] \frac{{\sqrt 3 }}{3} [/math] | [math]30[/math] | [math] \frac{\pi }{6} [/math] | |
[math]1[/math] | [math]45[/math] | [math] \frac{\pi }{4} [/math] | |
[math] \sqrt 3 [/math] | [math]60[/math] | [math] \frac{\pi }{3} [/math] | |
تعریف نشده | [math]90[/math] | [math] \frac{\pi }{2} [/math] |
ناحیه دوم :
اگر زاویه 90 درجه عبور کنیم مقدار تانژانت آن [math] – \infty [/math] خواهد بود و هر چه از 90 درجه به سمت [math] \pi[/math] حرکت کنیم مقدار تانژانت از [math] – \infty [/math] افزایش می باید و به صفر می رسد و در نقطه که زاویه برابر 180 یعنی [math] \pi[/math] دوباره صفر می شود.
[math] \frac{\pi }{2} < \alpha \le \pi \Rightarrow – \infty < \tan \alpha \le 0 [/math]
مقدار | درجه | رادیان | [math]tan[/math] |
[math] – \sqrt 3 [/math] | [math]120[/math] | [math] \frac{2\pi }{3} [/math] | |
[math]-1[/math] | [math]135[/math] | [math] \frac{3\pi }{4} [/math] | |
[math] \frac{{ – \sqrt 3 }}{3} [/math] | [math]150[/math] | [math] \frac{5\pi }{6} [/math] | |
صفر | [math]180[/math] | [math] \pi [/math] |
ناحیه سوم :
دوباره اگر از 180 درجه یا همان [math] \pi [/math] به سمت [math] \frac{{3\pi }}{2} [/math] حرکت کنیم دوباره مشابه حالت ناحیه اول مقدار tan از صفر تا مثبت بی نهایت افزایش می یابد .
ناحیه چهارم :
در این ناحیه نیز مشابه ناحیه دوم است مقدار tan از منفی بی نهایت تا صفر افزایش می یابد .
با توجه به توضیحاتی که تا اینجا دادیم می توان گفت که با حرکت روی دایره مثلثاتی حدود تانژانت
[math] ( – \infty , + \infty ) [/math] خواهد بود .
در مطلب بعدی در مورد تابع تانژانت خواهم نوشت