رسم سهمی
رسم سهمی [math] y = a{x^2} + bx + c[/math]
برای رسم سهمی باید مراحل زیر را انجام دهیم که در واقع در مقالات قبلی ما به تفصیل ان را توضیح دادیم :
1-دهانه و جهت سهمی به کدام سمت است ؟
با استفاده از علامت a در معادله می توان جهت سهمی را مشخص کرد
2-راس سهمی چه نقطه ای است؟
مختصات راس سهمی بصورت زیر است :
[math] \left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right)[/math]
3-سهمی در چه نقطه ای با محور x ها و در چه نقطه ای با محور y ها متقاطع است؟
الف)محل برخورد سهمی با محور y ها کافیست در معادله به جای x صفر قرار دهیم تا نقطه (0,c) بدست آید.
ب)برای بدست آوردن نقاط برخورد سهمی با محور x ها باید معادله را مساوی صفر قرار دهیم و جواب آن را بدست آوریم .
جواب هر سه سوال بالا را در مقالات قبلی مفصل داده ایم ، کافیست لینک هر سوال را کلیک کنید تا مطلب مورد نظر را بطور مفصل ببینید.
اکنون میخواهیم با توجه به آموزشهایی که تاکنون دادیم سهمی را رسم کنیم.چند مثالی را حل می کنیم تا بهتر متوجه شوید.
مثال1: سهمی [math] y = {x^2} – 5x + 4[/math] را رسم کنید.
ابتدا مقادیر [math]a,b,c[/math] معادله را مشخص می کنیم.
[math] a = 1,b = – 5,c = 4[/math] | [math] y = {x^2} – 5x + 4[/math] |
1-تعیین علامت a و دهانه سهمی:
دیدیم که a=1 است و بزرگتر از صفر است یعنی مثبت بود پس دهانه سهمی رو به بالا است .
2-بدست آوردن مختصات راس سهمی:) اسم راس سهمی را A می گذاریم)
[math]\left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right) \to \left( { – \frac{{ – 5}}{2},\frac{{4 \times 4 – {{( – 5)}^2}}}{4}} \right) \to \left( {\frac{5}{2},\frac{{ – 9}}{4}} \right)\\ [/math]
3-بدست آوردن محل برخورد سهمی با محورها
الف )تقاطع سهمی با محور y ها (اسم این نقطه را B می نامیم)
[math] \left( {0,c} \right) \to \left( {0,3} \right)[/math]
ب)تقاطع سهمی با محور x ها را حساب می کنیم:
[math]{x^2} – 5x + 4 = 0\\\Delta = {b^2} – 4ac = {( – 5)^2} – 4(1)(4) = 25 – 16 = 9[/math]
چون دلتا بزرگتر از صفر است پس معادله دارای دو ریشه است یعنی دو نقطه داریم اکنون این دو ریشه را بدست می آوریم :
[math]{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – ( – 5) + \sqrt 9 }}{2} = \frac{{5 + 3}}{2} = 4 \to \left( {4,0} \right)\\{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – ( – 5) + \sqrt 9 }}{2} = \frac{{5 – 3}}{2} = 1 \to \left( {1,0} \right)\\ [/math]
این نقاط را نام گزاری می کنیم نقطه [math] \left( {4,0} \right)[/math] را نقطه E و
نقطه [math] \left( {1,0} \right)[/math] را نقطه F می نامیم. خوب اکنون این نقاط بدست آمده تا اکنون را روی محور مختصات نمایش می دهیم.
A راس سهمی است وE,F محل برخورد سهمی با محور x ها و B محل تقاطع سهمی با محورy ها از طرفی دیگر چون در معادله درجه دوم a مثبت بود پس دهانه سهمی رو به بالا است اکنون نقاط بالا را به هم وصل می کنیم تا سهمی ما بدست آید.
مثال 2: سهمی [math] y = – {(x + 1)^2} [/math] را رسم کنید.
ابتدا اینجا بهتر است که معادله را به فرم درجه 2 تبدیل کنیم:
[math] y = – {(x + 1)^2} \to – {x^2} – 2x – 1[/math]
[math] a = – 1,b = – 2,c = – 1[/math] |
[math] y = – {(x + 1)^2} \to – {x^2} – 2x – 1[/math]
|
1-تعیین علامت a و دهانه سهمی:
دیدیم که a=-1 است و کوچکتر از صفر است یعنی منفی بود پس دهانه سهمی رو به پایین است .
2-بدست آوردن مختصات راس سهمی:) اسم راس سهمی را A می گذاریم)
[math]\left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right) \to \left( { – \frac{{ – 2}}{{ – 2}},\frac{{4 \times ( – 1)( – 1) – {{( – 2)}^2}}}{{ – 4}}} \right) \to \left( { – 1,0} \right)\\[/math]
3-بدست آوردن محل برخورد سهمی با محورها
الف )تقاطع سهمی با محور y ها (اسم این نقطه را B می نامیم)
[math] \left( {0,c} \right) \to \left( {0,-1} \right)[/math]
ب)تقاطع سهمی با محور x ها را حساب می کنیم:
[math]\Delta = {b^2} – 4ac = {( – 2)^2} – 4( – 1)( – 1) = 4 – 4 = 0[/math]
چون دلتا برابر صفر شد یعنی سهمی در یک نقطه بر محور x ها مماس است و معادله درجه 2 دارای یک ریشه مضاعف است .
[math] \Delta = 0 \to x = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{ – 2}}{{ – 2}} = – 1 \to ( – 1,0)[/math]
نقطه سوم ما هم بر راس سهمی واقع شده از طرف دیگر خط x=-1 محور تقارن سهمی است .برای رسم چنین سهمی بهتر است نقاط دیگری هم حساب کنیم در واقع از روش نقطه یابی هم میتوان نقطه ای دیگر بدست آورد .
من با توجه به نقاطی که تاکنون بدست آمده و محور تقارن ، به جای x منفی 2 قرار می دهیم تا نقطه ای دیگر به نام E برای سهمی بدست آوریم:
[math]\left\{ \begin{array}{l}y = – {x^2} – 2x – 1\\x = – 2\end{array} \right\} \to y = – {( – 2)^2} – 2( – 2) – 1 = – 1\\\left( { – 2, – 1} \right)[/math]