تمرینها و تست های حل شده دنباله حسابی
1-در یک دنباله حسابی ،جملات سوم و هفتم به ترتیب 20 و 56 است .دنباله را مشخص کنید .جمله اول و قدر نسبت آن را بنویسید .
پاسخ:
ما می توانیم این سوال را به دو روش حل کنیم
روش اول :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 20 \to {t_1} + 2d = 20 \\{t_7} = 25 \to {t_1} + 6d = 56 \\\end{array} \right\} \Rightarrow 4d = 36 \to d = 9,{t_1} = 2[/math]
روش دوم :همانطور که در آموزش خصوصیات و نکات دنباله حسابی گفتیم ( نکته سوم ) : داریم که :
[math]\left\{ \begin{array}{l}d = \frac{{{t_n} – {t_m}}}{{n – m}} \\{t_3} = 20 \\{t_7} = 56 \\\end{array} \right\} \to d = \frac{{56 – 20}}{{7 – 3}} = \frac{{36}}{4} = 9 \\{t_3} = {t_1} + 2d \Rightarrow 20 = {t_1} + 2(9) \to 20 = {t_1} + 18 \to {t_1} = 2 \\[/math]
2-در یک دنباله حسابی ،مجموعه سه جمله اول 3 و مجموع سه جمله بعدی آن 39 است .دنباله را مشخص کنید.
پاسخ :
[math]{t_1} + {t_2} + {t_3} = 3 \\{t_1} + {t_1} + d + {t_1} + 2d = 3 \to 3{t_1} + 3d = 3 \\{t_4} + {t_5} + {t_6} = 39 \\{t_1} + 3d + {t_1} + 4d + {t_1} + 5d = 39 \to 3{t_1} + 12d = 39 \\\left\{ \begin{array}{l}3{t_1} + 3d = 3 \\3{t_1} + 12d = 39 \\\end{array} \right\} \\[/math]
اکنون یک دستگاه داریم دو معادله با دو مجهول ، ابتدا عدد سه را فاکتور می گیریم و سپس دستگاه را حل می کنیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + d = 1 \\{t_1} + 4d = 13 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}- {t_1} – d = – 1 \\{t_1} + 4d = 13 \\\end{array} \right\} \to 3d = 12 \\d = 4,{t_1} = – 3 \\[/math]
در دستگاه بالا معادله اول را در عدد منفی یک ضرب می کنیم حالا براحتی می توانیم ساده کنیم و مجهولات را محاسبه کنیم .
3-در دنباله حسابی [math]208,204,….[/math] کدامین جمله صفر است ؟
1)52 2)51 3)54 4)53
پاسخ :
چون گفته دنباله حسابی ، می دانیم که در دنباله های حسابی قدر نسبت از تفاضل دو جمله متوالی بدست می آید پس با این حساب از تفاضل دو جمله داده شده در بالا می توانیم قدر نسبت را بدست آوریم :
[math] d = {t_n} – {t_{n – 1}} = {t_2} – {t_1} = 204 – 208 = – 4[/math]
از طرف دیگر می دانیم که جمله اول دنباله حسابی ما بصورت زیر است :
[math] {t_1} = 208[/math]
اکنون باید جمله ای را بدست آوریم که برابر صفر باشد ، خوب ما فرض می کنیم که جمله n ام برابر صفر باشد و با استفاده از فرمول کلی جمله n ام داریم که :
[math]{t_n} = 0 \\{t_n} = {t_1} + (n – 1)d \\0 = 208 + (n – 1)( – 4) \to = 208 – 4n + 4 \to 4n = 212 \Rightarrow n = 53[/math]
جواب صحیح گزینه 4 است .
4-در یک دنباله حسابی [math] {t_1} = 4 [/math] و[math] {t_{n + 1}} = {t_n} + 3 [/math] جمله n ام کدام است ؟(کنکور سراسری تجربی-68)
1)[math]n+2[/math] 2)[math]3n+1[/math] 3)[math]n+2[/math] 4)[math]2n+2[/math]
پاسخ :
در دنباله حسابی می دانیم که تفاضل هر دو جمله متوالی برابر قدر نسبت است ، حالا دقت کنید که در مساله بالا گفته
[math] {t_{n + 1}} = {t_n} + 3 \Rightarrow {t_{n + 1}} – {t_n} = 3 \Rightarrow d = 3[/math]
حالا قدر نسبت را بدست اوردیم و می دانیم جمله اول برابر 4 است پس جمله n ام بصورت زیر محاسبه می شود :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 4 \\d = 3 \\{t_n} = {t_1} + (n – 1)d \\\end{array} \right\}{t_n} = 4 + (n – 1)3 = 4 + 3n – 3 = 3n + 1 \\[/math]
جواب گزینه2 صحیح است.
5-بین دو عدد 7 و 55 به تعدادهفت جمله طوری نوشته شده است که دنباله حسابی تشکیل شود ،جمله وسط کدام است ؟(آزمایشی سنجش ریاضی-90)
1)29 2)31 3)32 4)33
پاسخ :
روش اول :در واقع اینجا بین این دو عدد 7 عدد باید قرار بگیرند ، دنباله ای حسابی بصورت زیر :
[math]7,{t_2},{t_3},{t_4},{t_5},{t_6},{t_7},{t_8},55 \\{t_1} = 7 \\{t_9} = 55 \\[/math]
حالا با استفاده از جمله نهم می توانیم قدر نسبت را حساب کنیم :
[math]{t_9} = 55,{t_1} = 7 \\{t_9} = {t_1} + 8d \Rightarrow 55 = 7 + 8d \Rightarrow 48 = 8d \Rightarrow d = 6[/math]
اکنون جمله اول معلوم است عدد 7 و قدر نسبت هم معلوم است عدد 6 ، با توجه به اینکه 9 جمله داریم پس جمله وسط ما یعنی جمله پنج است ، پس باید جمله پنجم را بدست آوریم :
[math]{t_1} = 7,d = 6 \\{t_5} = {t_1} + 4d \Rightarrow {t_5} = 7 + 4(6) \Rightarrow {t_5} = 31[/math]
راه حل دوم :
با توجه به فرمول درج واسطه حسابی بین دو عدد ، قدر نسبت براحتی از فرمول زیر بدست می آید :
[math]d = \frac{{b – a}}{{n + 1}} = \frac{{55 – 7}}{{7 + 1}} = \frac{{48}}{8} = 6 \\{t_1} = 7,d = 6 \\{t_5} = {t_1} + 4d \Rightarrow {t_5} = 7 + 4(6) \Rightarrow {t_5} = 31[/math]
6-کدام یک از دنباله های زیر یک دنباله حسابی است ؟
[math]1){t_n} = 8n + 1 \\2){t_n} = {n^2} \\3){t_n} = \frac{1}{n} \\4){t_n} = {n^3} + n \\[/math]
پاسخ : می دانیم که جمله n ام یک دنباله حسابی همیشه یک عبارت درجه یک نسبت به n است .در واقع دنباله حسابی یک دنباله با الگوی خطی است .پس درجه n اینجا همیشه باید برابر یک باشد . بر همین اساس گزینه 1 جواب صحیح است .
7-یک دنباله حسابی مفروض است در این دنباله [math] {t_9} + {t_{23}} = 17 [/math] و [math] {t_{15}} + {t_{37}} = 14 [/math] ، حاصل [math] {t_{16}} + {t_{26}} [/math] کدام است ؟
1)[math] \frac{{29}}{2} [/math] 2)[math] \frac{{31}}{2} [/math]
3)[math] \frac{{35}}{2} [/math] 4)[math] \frac{{37}}{2} [/math]
پاسخ :
طبق قاعده اندیس ها می توانیم این تست را حل کنیم :
[math]32 = 9 + 23 \Rightarrow 16 + 16 = 9 + 23 \Rightarrow {t_{16}} + {t_{16}} = {t_9} + {t_{23}} = 17 \\2{t_{16}} = 17 \Rightarrow {t_{16}} = \frac{{17}}{2} \\52 = 15 + 37 \Rightarrow 26 + 26 = 15 + 37 \Rightarrow {t_{26}} + {t_{26}} = {t_{15}} + {t_{37}} = 14 \\2{t_{26}} = 14 \Rightarrow {t_{26}} = 7 \\{t_{16}} + {t_{26}} = 7 + \frac{{17}}{2} = \frac{{31}}{2}[/math]
8-چندمین جمله از دنباله حسابی [math]2,5,8,…[/math] برابر 56 است ؟ (سراسری ریاضی -71)
1)18 2)19 3)20 4)21
پاسخ:
[math]{t_1} = 2 \\d = {t_2} – {t_1} = 5 – 2 = 3 \\{t_n} = 2 + 3(n – 1) \Rightarrow {t_n} = 56 = 2 + 3(n – 1) \\3(n – 1) = 54 \Rightarrow n – 1 = 18 \Rightarrow n = 19[/math]
گزینه 2 صحیح است.
9-اعداد [math]2p+3,3p+4,5p-1[/math] سه جمله متوالی یک دنباله حسابی هستند .قدر نسبت این دنباله کدام است ؟ (سراسری ریاضی -84)
1)4 2)5 3)6 4)7
پاسخ :
می دانیم که وقتی مثلا a,b,c سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند رابطه زیر برقرار است:
[math]a,b,c \\b = \frac{{a + c}}{2} \Rightarrow 2b = a + c \\[/math]
پس با استفاده از رابطه بالا داریم :
[math]2(3p + 4) = (2p + 3) = (5p – 1) \\6p + 8 = 7p + 2 \Rightarrow p = 6 \\[/math]
اکنون در سه جمله فوق به جای p عدد 6 را جایگزاری می کنیم :
[math]15,22,29 \\d = 22 – 15 = 7 \\[/math]
گزینه 4 صحیح است .
10-چند جمله از دنباله حسابی [math] {t_1} = 170,{t_2} = 160 [/math] مثبت است ؟
1)17 2)18 3)20 4)19
پاسخ:
[math]d = {t_2} – {t_1} = 170 – 160 = – 10 \\{t_n} = {t_1} + (n – 1)d > 0 \Rightarrow 170 + (n – 1)( – 10) > 10 \\- 10(n – 1) > – 170 \\n – 1 < 17 \Rightarrow n < 18 \\[/math]
بنابر این
از یک تا 17 مثبت می باشد ، پس گزینه 1 صحیح است .