تمرینات دنباله هندسی با پاسخ تشریحی
1-چند دنباله هندسی با قدر نسبت [math] \frac{4}{5} [/math] می توان ساخت ؟ دو مورد را بنویسید .
پاسخ : بی نهایت ما با یک قدر نسبت بی نهایت دنباله هندسی می توانیم داشته باشیم
مثلا:
[math]1,\frac{4}{5},\frac{{16}}{{25}},\frac{{64}}{{125}},… \\10,\frac{{40}}{5},\frac{{160}}{{25}},… \\[/math]
2-حاصلضرب بیست جمله اول دنباله هندسی زیر را محاسبه کنید .
[math]2,4,8,…[/math]
پاسخ :
اولین کاری که اینجا باید انجام دهیم بدست آوردن جمله عمومی این دنباله هندسی است .به سادگی می توان حدس زد که جمله عمومی دنباله فوق بصورت زیر است :
[math]\left\{ \begin{array}{l}2 = {2^1} \\4 = {2^2} \\8 = {2^3} \\\end{array} \right\} \Rightarrow {t_n} = 2 \times {2^{n – 1}} = {2^n}[/math]
پس حاصلضرب 20 جمله اول برابر است با :
نکته جمع اعداد متوالی از فرمول زیر بدست می آید :
[math] \frac{{n(n + 1)}}{2}[/math]
اکنون داریم
[math]{2^1} \times {2^2} \times {2^3} \times …. \times {2^{20}} = {2^{(1 + 2 + 3 + … + 20)}} \\\\\left\{ \begin{array}{l}1 + 2 + 3 + … + 20 = ? \\\frac{{n(n + 1)}}{2} \\\end{array} \right\}\frac{{20(20 + 1)}}{2} = 210[/math]
پس جواب ما عدد [math] {2^{210}} [/math] خواهد بود.
3-جملات سوم و ششم یک دنباله هندسی به ترتیب 12 و 96 می باشند .دنباله را مشخص کنید.
راه حل اول :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{t_3} = {t_1}{r^2} \Rightarrow 12 = {t_1}{r^2} \\{t_6} = {t_1}{r^5} \Rightarrow 96 = {t_1}{r^5} \\\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{12}}{{96}} = \frac{{{t_1}{r^2}}}{{{t_1}{r^5}}} \Rightarrow \frac{1}{8} = \frac{1}{{{r^3}}} \Rightarrow {r^3} = 8 \to r = 2 \\\\\left\{ \begin{array}{l}{t_3} = {t_1}{r^2} \\{t_3} = 12 \\r = 2 \\\end{array} \right\} \to 12 = {t_1}{(2)^2} \Rightarrow 12 = 4{t_1} \Rightarrow {t_1} = 3 \\\\3,6,12,24,…. \\[/math]
راه حل دوم استفاده از نکته شماره 2 ذکر شده در خصوصیات دنباله هندسی ، می دانیم که قدر نسبت بصورت زیر بدست می آید :
[math]{r^{n – m}} = \frac{{{t_n}}}{{{t_m}}} \Rightarrow {r^{6 – 3}} = \frac{{{t_6}}}{{{t_3}}} \Rightarrow {r^3} = \frac{{96}}{{12}} = 8 \Rightarrow r = 2 \\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_3} = {t_1}{r^2}} \\ {{t_3} = 12} \\ {r = 2} \\\end{array}} \right\} \to 12 = {t_1}{(2)^2} \Rightarrow 12 = 4{t_1} \Rightarrow {t_1} = 3 \\\\3,6,12,24,…. \\[/math]
4-در یک دنباله هندسی جمله اول 3 و قدر نسبت آن 2 می باشد .جمله چندم این دنباله برابر 96 است ؟ (کنکور سراسری)
1)پنجم 2)ششم 3)هفتم 4)هشتم
پاسخ :
[math]{t_1} = 3,r = 2 \\{t_n} = 96 \Rightarrow n = ? \\{t_n} = {t_1}{r^{n – 1}} \Rightarrow 96 = 3{(2)^{n – 1}}[/math]
اکنون طرفین رابطه بالا را بر 3 تقسیم می کنیم :
[math]\frac{{96}}{3} = \frac{{3{{(2)}^{n – 1}}}}{3} \Rightarrow 32 = {(2)^{n – 1}} \Rightarrow {2^5} = {(2)^{n – 1}} \\n – 1 = 5 \Rightarrow n = 6 \\[/math]
جواب گزینه 2 صحیح است .
5-در یک دنباله هندسی [math] {t_2}{t_4} = 2{t_5}[/math] جمله اول کدام است ؟(کنکور سراسری ریاضی -82)
1)[math] \sqrt 2 [/math] 2)2 3)4 4)[math] 2\sqrt 2 [/math]
پاسخ:
[math]{t_2}{t_4} = 2{t_5},{t_1} = ? \\{t_2}{t_4} = 2{t_5} \Rightarrow ({t_1}r)({t_1}{r^3}) = 2{t_1}{r^4} \Rightarrow {t_1}^2{r^4} = 2{t_1}{r^4} \\\frac{{{t_1}^2{r^4}}}{{{t_1}{r^4}}} = \frac{{2{t_1}{r^4}}}{{{t_1}{r^4}}} \Rightarrow {t_1} = 2 \\[/math]
جواب گزینه 2 صحیح است.
6-در یک دنباله هندسی مجموع سه جمله متوالی 19 و حاصلضرب آنها 216 می باشد. تفاضل کوچکترین و بزرگترین این سه عدد کدام است ؟ ( کنکور سراسری-تجربی -90)
1)4 2)5 3)6 4)7
پاسخ :
ما می توانیم سه جمله متوالی یک دنباله هندسی را بصورت زیر فرض کنیم:
[math] \frac{{{t_1}}}{r},{t_1},{t_1}r [/math]
طبق داده های سوال حاصلضرب و جمعشان رابطه زیر را دارد :
[math]\frac{{{t_1}}}{r},{t_1},{t_1}r \\\frac{{{t_1}}}{r} \times {t_1} \times {t_1}r = 216 \Rightarrow {t_1}^3 = 216 \Rightarrow {t_1} = 6 \\\frac{{{t_1}}}{r} + {t_1} + {t_1}r = 19 \Rightarrow \frac{6}{r} + 6 + 6r = 19\Rightarrow \frac{6}{r} + 6r = 13 \\6 + 6{r^2} = 13r \Rightarrow 6{r^2} – 13r + 6 = 0 \\[/math]
اکنون باید ریشه های معادله درجه دوم بالا را بدست آوریم تا قدر نسبت معلوم شود دو مقدار دارد :
[math]6{r^2} – 13r + 6 = 0 \\r = \frac{{13 \pm \sqrt {169 – 144} }}{{12}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{18}}{{12}} = \frac{3}{2}} \\{\frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
پس داریم :
[math]r = \frac{3}{2} \\\frac{{{t_1}}}{r} = \frac{6}{{\frac{3}{2}}} = 4,{t_1} = 6,{t_1}r = 6 \times \frac{3}{2} = 9 \Rightarrow 4,6,9 \\r = \frac{2}{3} \\\frac{{{t_1}}}{r} = \frac{6}{{\frac{2}{3}}} = 9,{t_1} = 6,{t_1}r = 6 \times \frac{2}{3} = 4 \Rightarrow 9,6,4 \\[/math]
در هر صورت هر دو دنباله بدست آمده در بالا تفاضل 9 و 4 عدد 5 می شود .پس جواب گزینه 2 صحیح است.
7-جمعیت یک روستا 1000 نفر است ،اگر جمعیت این روستا هر سال به اندازه [math] \frac{1}{{10}}[/math] جمعیت سال قبل کاهش یابد ، پس از 4 سال چند نفر در روستا زندگی می کنند ؟(کنکور آزمایشی گزینه 2)
1)729 2)400 3)600 4)271
پاسخ:چون گفته جمعیت هزار نفر است یعنی جمله اول دنباله ما عدد 1000 است
[math] {t_1} = 1000[/math]
هر سال به اندازه [math] \frac{1}{{10}}[/math] از جمعیت کاهش می یابد :
در سال اول :
[math] 1000 \times \frac{1}{{10}} = 100[/math]
یعنی در سال اول 100 نفر از جمعیت روستا کم می شود پس در سال دوم جمعیت روستا 1000-100=900 نفر است یعنی جمله دوم دنباله ما عدد 900 است :
[math] {t_2} = 900[/math]
پس قدر نسبت این دنباله بصورت زیر محاسبه می شود :
[math] r = \frac{{{t_2}}}{{{t_1}}} = \frac{{900}}{{1000}} = \frac{9}{{10}}[/math]
جمعیت روستا پس از 4 سال یعنی باید جمله چهارم دنباله را حساب کنیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{t_4} = {t_1}{r^3} \\{t_1} = 1000 \\r = \frac{9}{{10}} \\\end{array} \right\} \Rightarrow {t_4} = 1000 \times {(\frac{9}{{10}})^3} = 1000 \times \frac{{729}}{{1000}} = 729 \\[/math]
گزینه 1 جواب صحیح است .
8-در یک دنباله هندسی با جمله عمومی [math] \frac{2}{{{3^n}}}[/math] جمله چهارم چند برابر جمله ششم است ؟(کنکور سراسری)
1)2 2)3 3)4 4)9
پاسخ:
[math]{t_n} = \frac{2}{{{3^n}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_4} = \frac{2}{{{3^4}}}} \\{{t_6} = \frac{2}{{{3^6}}}} \\\end{array}} \right\} \to \frac{{{t_4}}}{{{t_6}}} = \frac{{\frac{2}{{{3^4}}}}}{{\frac{2}{{{3^6}}}}} = \frac{{{3^6} \times 2}}{{{3^4} \times 2}} = \frac{{{3^6}}}{{{3^4}}} = 9 \\[/math]
جواب گزینه 4 صحیح است .