انتگرال بخش 5-انتگرال تابع لگاریتم طبیعی و تابع نمایی
در مباحث گذشته مطرح کردیم که مشتق [math]e^x[/math] برابر همان [math]e^x[/math] است . و اگر تا بی نهایت از آن مشتق بگیریم باز همان [math]e^x[/math] می شود بناربر این با توجه به قاعده ارتباط معکوس مشتق و انتگرال با یکدیگر ،خواهیم داشت که :
[math]\int e^xdx=e^x+c[/math]
همچنین انتگرال تابع نمایی در حالت کلی بصورت زیر است
[math]\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+c[/math]
مثال : انتگرال زیر را حل کنید
[math]\int 5e^xdx=5\int e^xdx=5e^x+c[/math]
علاوه بر این فهمیدیم که مشتق تابع لگاریتم طبیعی [math]\ln x[/math] برابر است با [math]\frac{1}{x}[/math] پس انتگرال تابع لگاریتم طبیعی بصورت زیر خواهد بود .
[math]\int \ln xdx=x(\ln x)-x+c[/math]
و همچنین می داینم که
[math]\int \frac{1}{x}dx=\ln x+c[/math]
ترکیب انتگرال تابع نماییو تابع لگاریتمی برای حل انتگرال پیشرفته و پیچیده کمک فراوانی به ما می کند ، مخصوصا بعدها در معادلات دیفرانسیل متوجه این مطلب خواهمی شد که چقدر تابع [math]\ln x[/math] و [math]e^x[/math] ما را در حل معادلات کمک می کند .
مثال : انتگرال [math]\int 2^xe^xdx[/math] را حل کنید
[math]\int 2^xe^xdx=\int (2e)^xdx=\left ( \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+c\right )\Rightarrow \frac{(2e)^x}{\ln(2e)}+c=\frac{^xe^x}{\ln 2+\ln e}[/math]