تابع خطی ،تابع ثابت و تابع همانی
تابع خطی
بسیار از رابطه های موجود در اطراف ما یک رابطه خطی می باشند .مثلا : یک شمع 20 سانتیمتر ارتفاع دارد و در هر ساعت 4 سانتیمتر آن می سوزد.پس از چند ساعت شمع خاموش خواهد شد ؟ برای این کار جدولی تنظیم می کنیم و در ساعات مختلف ارتفاع شمع را محاسبه می کنیم.
| x (زمان) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y (ارتفاع) | 20 | 16 | 12 | 8 | 4 | 0 |
اکنون نمودار این جدول را رسم می کنیم:
همانطور که می بینید نمودار این نقاط بصورت یک خط مستقیم است .از طرف دیگر معادله این خط بصورت زیر است .
شیب خط با در نظر گرفتن دونقطه مثلا [math] \left( {0,20} \right),\left( {1,16} \right)[/math]
[math] m = \frac{{{y_2} – {y_1}}}{{{x_2} – {x_1}}} = \frac{{16 – 20}}{{1 – 0}} = – 4[/math]
معادله خط بصورت زیر خواهد بود
[math]y – {y_1} = m(x – {x_1}) \Rightarrow y – 20 = – 4(x – 0)\\y = – 4x + 20\\[/math]
در مثال بالا دیدیم که ما در نهایت به یک معادله خط رسیدیم پس :
هر تابعی را که بتوان به شکل [math]y=ax+b[/math] نمایش داد ، یک تابع خطی است .
پس تعریف تابع خطی بطور کلی بصورت زیر است :
1-معادله تابع خطی به شکل [math]f(x)=ax+b[/math] می باشد.
2-نمودار تابع خطی به شکل یک خط می باشد . ( مانند مثال بالا)
3-[math]a[/math] را شیب خط و [math]b[/math] را عرض از مبدا خط می گویند.
تابع ثابت
تابع حقیقی تعریف شده روی مجموعه A ،
[math]f:A \to B\\f(x) = K\\[/math]
را یک تابع ثابت می گوییم ،هر گاه
1-برد آن تنها شامل یک عضو باشد .
2-نمایش جبری آن بصورت [math]f(x)=K[/math] که در آن K یک عدد ثابت (عددی حقیقی) است.
3-نمودار آن به شکل خطی موازی محور x ها می باشد .
4-دامنه تابع ثابت تمام اعداد حقیقی است ،اما برد آن فقط عدد ثابت K می باشد.
بررسی تابع ثابت از چهار دیدگاه ، زوج مرتب،نمودار ون ،و نمودار ریاضی و ضابطه ای بصورت زیر است :
الف)از لحاظ زوج مرتب مولفه های دوم یک عدد ثابت می باشند .
[math] \{ \left( {1,5} \right),\left( {0,5} \right),\left( {2,5} \right),\left( {6,5} \right)\}[/math]
ب)از لحاظ نمودار ون : تمام پیکانها باید به یک عدد ختم شوند . ، نمودار ون زوج مرتب فوق بصورت زیر است:
ج)از لحاظ نمودار ریاضی تابع ثابت بصورت خطی موازی محور x ها می باشد .
در فیلم زیر مشاهده می کنید که چگونه با افزایش و کاهش مقدار K عدد ثابت ، نمودار تابع ثابت چه تغییراتی را می بینیم.
د)از نگاه ضابطه یا قانون تابع ثابت به صورت [math]f(x)=K[/math] یا [math]y=K[/math] می باشد.
مانند :
[math]f(x)=3 \\f(x)=-2\\y=3\\y=-2\\[/math]
تمرین : مقدار x را طوری بدست آورید که زوج مرتب زیر یک تابع ثابت باشد .
[math] \{ \left( {1,5} \right),\left( {0,a – 2} \right),\left( {2,5} \right),\left( {6,a + b} \right)\}[/math]
چون تابع ثابت است پس تمام مولفه های دوم زوج مرتب باید برابر باشند در واقع همه باید برابر 5 باشند خوب اول مولفه [math]a-2[/math] را بررسی می کنیم و آن را برابر 5 قرار می دهیم:
[math] a – 2 = 5 \Rightarrow a = 7[/math]
حالا با معلوم شدن مقدار a می توانیم مقدار b را نیز حساب کنیم
[math] a + b = 5 \Rightarrow 7 + b = 5 \Rightarrow b = -2[/math]
اکنون اگر مقدار a,b بدست آمده را در صورت مساله بالا قرار دهیم زوج مرتب بصورت زیر خواهد شد:
[math]\{ \left( {1,5} \right),\left( {0,a – 2 = 7 – 2 = 5} \right),\left( {2,5} \right),\left( {6,a + b = 7 – 2 = 5} \right)\} \\\{ \left( {1,5} \right),\left( {0,5} \right),\left( {2,5} \right),\left( {6,5} \right)\}[/math]
تابع همانی
تابع با ضابطه [math]f(x)=x[/math] یا [math]y=x[/math] تابع همانی نامیده می شود .این تابع :
1-به هر عضو از دامنه ،خود همان عضو را نسبت می دهد.
2-دامنه و برد این تابع مجموعه اعداد حقیق R است.پس دامنه و برد این تابع برابر است .
بررسی تابع همانی از چهار دیدگاه :
الف)از دید زوج مرتب : مولفه اول و دوم هر زوج مرتب باید مساوی باشند.
[math] \{ \left( {1,1} \right),\left( {0,0} \right),\left( {a,a} \right),\left( {b,b} \right)\}[/math]
ب)از دیدگاه نمودار ون : هر عضو از دامنه به همان عضو از برد وصل می شود .
ج)از دیدگاه نمودار ریاضی : تابع همانی نمیساز ربع اول و سوم می باشد .
د) از دیدگاه ضابطه یا قانون : تابع همانی بصورت [math]f(x)=x[/math] تعریف می شود .
مثال : مقادیر a,b را به گونه ای بیابید که تابع [math] f(x) = (a + b){x^2} + x + b+2[/math] تابعی همانی باشد.
می دانیم برای اینکه این تابع همانی باشد باید صورت آن به فرم [math]f(x)=x[/math] باشد.پس
[math] f(x) = (a + b){x^2} + x + b+2 = x[/math]
در واقع باید ضریب ایکس به توان 2 باید برابر صفر شود چون ما در تابع همانی جمله به توان 2 نداریم
[math]a+b=0[/math]
از طرفی دیگر ما در عبارت یه [math]b+2[/math] هم داریم که این هم باید برابر صفر شود . پس
[math] b + 2 = 0 \Rightarrow b = – 2 [/math]
حالا که مقدار b معلوم شد می توانیم مقدار a را هم حساب کنیم
[math]\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\b = – 2\end{array} \right\} \to a = 2[/math]
