نکات مهم و اولیه برای محاسبه حد-مفهوم ابهام در حد
صفر مطلق :همان عدد صفر است که با آن آشنا هستیم .و در محور اعداد حقیقی هست.
صفر حدی : اعداد بسیار کوچک مثبت نزدیک به صفر و یا اعداد بسیار بزرگ منفی و نزدیک به صفر را صفر حدی می گوییم .
چیزی که در این مطلب میخواهیم با هم مرور کنیم مفاهیم اولیه حد هست که در محاسبه حد کاربرد دارد. تا روزنه ای باشد برای ورود به مفهوم ابهام و رفع ابهام حد و همچنین حالتهای مبهم در حد.
مفهوم ابهام
مبهم چیست و به چه صورتی از اعداد و مقادیر مبهم می گوییم .چگونه بدست می آید ؟ و چگونه آن را بر طرف می کنیم ، جواب تمام این سوالات را در سلسله مطلبی که در این مورد خواهیم نوشت بصورت گام به گام پاسخ خواهیم داد. برای اینکار من سعی می کنم ابتدا از یک مثال شروع کنم تا بهتر متوجه شویم که ابهام چیست ؟
فرض کنید قرار است حد تابع[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} [/math] را محاسبه کنیم .ابتدا صورت کسر را بررسی می کنیم . وقتی متغیر [math]x[/math] به سمت صفر میل می کند حالا چه از سمت چپ (حد چپ و مقادیر کوچکتر از صفر) و چه از سمت راست (حد راست و مقادیر بزرگتر از صفر) در هر دو حالت مقدار سینوس ما نیز صفر خواهد بود .اما صفر مطلق نیست بلکه برابر با صفر حد هست . چون ما اینجا با حد سروکار داریم لذا سینوس صفر حدی برابر با صفر حدی خواهد بود .
مخرج کسر ما متغیر [math]x[/math] است که مشخص است وقتی به سمت صفر میل کند مثدار آن نیز برابر صفر حدی خواهد بود . حالا با توجه به اینکه صورت و مخرج ما برابر صفر حدی شدند .
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = \frac{{{0^ \pm }}}{{{0^ \pm }}}[/math]
همانطور که در بالا می بینید صورت و مخرج هر کدام میتواند صفر حدی (صفر به سمت مثبت یا به سمت منفی ) باشد . حالا صورت کسر ما وقتی صفر حدی می شود یعنی می خواهد حاصل کل عبارت را به سمت صفر ببرد ، چون در کسرها اگر صورت کسر صفر شود ، آنگاه حاصل کل عبارت نیز صفر می شود .
اما اگر به مخرج کسر نگاه کنیم می بینیم اگر چه مقدار صفر حدی گرفته ، اما بنابر خصوصیات کسرها اگر مخرج کسر صفر شود ،(یعنی تقسیم یک عدد غیر صفر بر یک صفر حدی نتیجه آن بی نهایت می شود ) پس در واقع اینجا مخرج کسر می خواهد نتیجه را به سمت بی نهایت بکشاند .
همانطور که در شکل بالا می بینید اینجا بین صورت و مخرج کسر ما یک نزاع بوجود می آید که هر کدام از آنها می خواهند نتیجه کسر را به سمت مقدار مورد نظر خود بکشند ، در واقع ما نمی توانیم با قاطعیت جواب دهیم که آیا جواب قطعی ما بی نهایت است یا صفر.
به این وضعیت ما حالت مبهم می گوییم ، این اولین حالت مبهم است که برابر تقسیم صفر حدی بر صفر حدی است . پس اکنون با این مقدمه صور مبهمی که ممکن است در حد بوجود آید را به ترتیب زیر معرفی می کنیم .
[math]\frac{{{0^ \pm }}}{{{0^ \pm }}},\frac{\infty }{\infty },0 \times \infty ,\infty – \infty ,{0^0},{\infty ^0},{0^\infty },{1^\infty }[/math]
نکته1 : منظور از [math] {0^ \pm }[/math] همان صفر حدی است .
نکته2: صفر مطلق تقسیم بر صفر مطلق [math] \frac{0}{0}[/math] مبهم نیست بلکه تعریف نشده است .و نباید آن را با تقسیم صفر حدی بر صفر حد اشتباه گرفت.
در مطالب بعدی گام به گام در مورد هر کدام از حالتهای مبهم و نحوه رفع ابهام آنها بحث خواهیم کرد .
سلام.در تابع سینوسی بالا ی توان گفت که چون xبه 0میل می کند پس حاصل تابع بالا 1 است.(ممنون از نکات).
سلام
با تشکر از مطلب تون که کاملا ساده وزیبا صفر حدی رو تعریف کردید
من که مستفیظ شدم و یاد گرفتم
رشته م تجربی ه
متاسفانه من تعریف صفر نسبی و صفر مطلق رو نمیدونم و آیا صفر نسبی همون صفر حدیه؟اینا رو معلمم نتونست درست واسم تفکیک و تعریف کنه…
میشه لطف کنید با چندتا مثال تفاوت این سه تا صفر رو توضیح بدید
البته الان با خوندن مطلبتون صفر حدی رو یاد گرفتم ولی صفر مطلق و صفر نسبی رو نمیدونم
با تشکر از توجه تون
میشه با چندتا مثال
چش حتما در اسرع وقت به این مساله توجه خواهیم کرد و مقاله مفصلی خواهم نوشت