مشتق توابع بخش 10 -مشتق تابع معکوس
مشتق تابع معکوس
می دانیم که یک تابع [math]f(x)[/math] به صورت زیر است رابطه ای است که x ورودی آن و [math]f(x)[/math] خروجی آن است:
اما تابع معکوس که به صورت [math] {f^{ – 1}} [/math] رابطه ای است که خروجی [math]f(x)[/math] را به ورودی x برمی گرداند :
1- نمودارهای تابع [math] {f^{ – 1}},f [/math] نسبت به خط [math]y=x[/math] تقارن دارند:
2-دو تابع [math] {f^{ – 1}},f [/math] جای دامنه و برد عوض می شود یعنی :
[math] {D_f} = {R_{{f^{ – 1}}}}\\{R_f} = {D_{{f^{ – 1}}}} [/math]
3- اگر نقطه [math](x,y)[/math] روی تابع [math]f[/math] باشد ، آنگاه نقطه [math](y,x)[/math] روی تابع معکوس قرار دارد. یعنی :
[math] (x,y) \in f \Rightarrow f(x) = y\\(y,x) \in {f^{ – 1}} \Rightarrow {f^{ – 1}}(y) = x [/math]
4- ترکیب یک تابع با معکوس آن همواره تابع همانی است :
[math] {f^{ – 1}}of(x) = {f^{ – 1}}(f(x)) = x\\fo{f^{ – 1}}(x) = f({f^{ – 1}}(x)) = x [/math]
با این مقدمه اکنون رابطه مشتق تابع معکوس و تابع اصلی را به صورت زیر بدست می آوریم :
نقطه [math](x,y)[/math] را روی تابع [math]f(x)[/math] در نظر می گیریم یعنی [math]y=f(x)[/math] می دانیم که [math](y,x)[/math] روی تابع معکوس خواهد بود و [math] x = {f^{ – 1}}(y) [/math] از طرفی دیگر می دانیم که [math] {f^{ – 1}}of(x) = x [/math]
قضیه :فرض کنید تابع f که در نقاط درونی [math] {D_f} [/math] مشتق پذیر و مشتق آن همه جا مثبت یا همه جا منفی باشد،در این صورت [math] {f^{ – 1}} [/math] نیز در همه نقاط درونی دامنه اش مشتق پذیر است و به ازای هر نقطه درونی از دامنه [math] {f^{ – 1}} [/math] مانند b که [math]b=f(a)[/math] داریم :
[math]({f^{ – 1}})'(b) = \frac{1}{{f'(a)}}[/math]
مثال 1:
تابع [math] f(x) = {x^3} + 2x [/math] و نقطه [math]A(2,12)[/math] روی این تابع است.مشتق این تابع در نقطه [math]x=2[/math] برابر است با
[math] \left\{ \begin{array}{l}f'(x) = 3{x^2} + 2\\x = 2\end{array} \right\} \to f'(2) = 3 \times {(2)^2} + 2 = 14 [/math]
نقطه [math]A’(12,2)[/math] متناظر با نقطه A روی [math] {f^{ – 1}} [/math] می باشد. مشتق [math] {f^{ – 1}} [/math] در نقطه [math]x=12[/math] یعنی [math] ({f^{ – 1}})'(12) [/math] برابر است با :
[math] ({f^{ – 1}})'(12) = \frac{1}{{f'(2)}} = \frac{1}{{14}} [/math]
مثال 2:فرض کنید [math] f(x) = {x^3} + 2x – 1 [/math] مقدار [math] ({f^{ – 1}})'(2) [/math] را حساب کنید .
[math] f(x) = {x^3} + 2x – 1 \Rightarrow f'(x) = 3{x^2} + 2\\b = 2,b = f(a) \Rightarrow {a^3} + 2a – 1 = 2\\{a^3} + 2a – 3 = 0\\a = 1\\({f^{ – 1}})'(b) = \frac{1}{{f'(a)}} \Rightarrow ({f^{ – 1}})'(2) = \frac{1}{{f'(1)}} = \frac{1}{{3{{(1)}^2} + 2}} = \frac{1}{5} [/math]
قضیه 2: اگر [math]y=f(x)[/math] یک به یک و مشتق پذیر باشد و [math] f'(x) \ne 0 [/math] باشد آنگاه :
[math] ({f^{ – 1}})'(y) = \frac{1}{{f'(x)}} [/math]
یا
[math] f'(x) = \frac{1}{{({f^{ – 1}})'(y)}} [/math]
مثال3: در توابع زیر مشتق تابع معکوس را حساب کنید.
[math] 1)y = \sqrt[n]{x} [/math]
ابتدا تابع معکوس را بدست می آوریم :
[math] y = f\left( x \right) = \sqrt[n]{x},\;\; \Rightarrow {y^n} = {\left( {\sqrt[n]{x}} \right)^n},\;\; \Rightarrow x = {f^{ – 1}}(x) = {y^n} [/math]
اکنون داریم:
[math] f'(x) = \frac{1}{{({f^{ – 1}})'(y)}}\\(\sqrt[n]{x})’ = f'(x) = \frac{1}{{({f^{ – 1}})'(y)}} = \frac{1}{{({y^n})’}} = \frac{1}{{n{y^{n – 1}}}} [/math]
با توجه به اینکه
[math] \left\{ \begin{array}{l}(\sqrt[n]{x})’ = \frac{1}{{n{y^{n – 1}}}}\\y = \sqrt[n]{x}\end{array} \right\} \to \frac{1}{{n{y^{n – 1}}}} = \frac{1}{{n{{(\sqrt[n]{x})}^{n – 1}}}} [/math]