مشتق توابع بخش 11-مشتق توابع ضمنی
مشتق توابع ضمنی
در فرمول توابعی که تا کنون بررسی کردیم ،بخاطر دارید که y همیشه تابعی بر حسب x بود .اما در ریاضیات ما همیشه با چنین حالتی مواجه نیستیم .به عبارتی دیگر ممکن است با عبارتهایی مواجه شویم که y به طور صریح بر حسب متغیر x نباشد .و در واقع معادله ای خواهیم داشت که به نوعی تداعی کننده رابطه ای معنا دار بین متغیر x , y است . بطوری که اگر عددی را به جای متغیر x در معادله قرار دهیم . متغیر y چند مقدار خواهد داشت .
فرم کلی چنین معادلاتی بصورت F(x,y)=0 می باشد این معادله را معادله ضمنی می نامند که در آن تابع به طور صریح بر حسب متغیر x بیان نشده است . حال سوالی که مطرح می شود چگونه از این توابع می توان مشتق گرفت ؟
توابع صریح :توابعی که ضابطه آنها به صورت [math]y=f(x)[/math] می باشد به توابع صریح موسوم هستند. زیرا y به صراحت و به تنهایی در یک طرف تساوی آمده است.
توابع ضمنی :اگر رابطه بین x,y ضمن هم مطرح شوند و به عبارتی x,y با هم مخلوط باشند تابع را ضمنی می گویند.
برای محاسبه مشتق توابعی که به طور ضمنی تعریف می شوند ، ابتدا y را تابعی مشتق پذیر بر حسب x فرض می کنیم و از هر دو طرف بر حسب x مشتق می گیریم ، این روش را مشتق گیری ضمنی می نامند .در زیر چند نمونه از این توابع را مشاهده می کنیم.
[math] {x^3} + {y^3} + 3{x^2}y = 0\\\frac{{x – y}}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }} – – 4x{y^2} = 0\\xy – \sin (x + y) = 0 [/math]
در اینجا x را یک متغیر مستقل حساب می کنیم و y را متغیر تابع یعنی همان [math]f(x)[/math] است. پس مشتق x برابر 1 است و مشتق y برابر [math]y’[/math]
اکنون چند مثال برای فهم بهتر مطلب حل می کنیم .
[math] 1){x^2}{y^5} + 2 = 0 [/math]
[math]2) {x^5} + 4x{y^3} – {y^5} = 0 [/math]
[math] 5{x^4} + 4{y^3} + y'(12x{y^2} – 5{y^4}) = 0\\y’ = \frac{{5{x^4} + 4{y^3}}}{{12x{y^2} – 5{y^4}}} [/math]
[math]3)x\sin y + y\cos x = 0[/math]
[math]{\left( {x\sin y + y\cos x} \right)^\prime } = 0,\;\; \Rightarrow {\left( {x\sin y} \right)^\prime } + {\left( {y\cos x} \right)^\prime } = 0[/math]
طبق قاعده مشتق حاصلضرب داریم :
[math]x’\sin y + x{\left( {\sin y} \right)^\prime } + y’\cos x + y{\left( {\cos x} \right)^\prime } = 0\\1.\sin y + x.\cos y.y’ + y’.\cos x + y.\left( { – \sin x} \right) = 0\\\sin y + x\cos y.y’ + \cos x.y’ – y\sin x = 0\\y’\left( {x\cos y + \cos x} \right) = y\sin x – \sin y\;\\y’ = \frac{{y\sin x – \sin y}}{{x\cos y + \cos x}}[/math]
[math]4)y = \sin \left( {x + y} \right)\\y’ = {\left[ {\sin \left( {x + y} \right)} \right]^\prime }\\y’ = \cos \left( {x + y} \right).{\left( {x + y} \right)^\prime }\; \Rightarrow y’ = \cos \left( {x + y} \right).\left( {1 + y’} \right)\\y’ = \cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x + y} \right).y’,\;\; \Rightarrow \\y’\left[ {1 – \cos \left( {x + y} \right)} \right] = \cos \left( {x + y} \right)\;\; \Rightarrow y’ = \frac{{\cos \left( {x + y} \right)}}{{1 – \cos \left( {x + y} \right)}}[/math]
[math]5){x^2} + y + \ln \left( {x + y} \right) = 0,\;\;\left( {x + y > 0} \right)\\{\left[ {{x^2} + y + \ln \left( {x + y} \right)} \right]^\prime } = 0\\2x + y’ + \frac{1}{{x + y}}\cdot{\left( {x + y} \right)^\prime } = 0\\2x + y’ + \frac{1}{{x + y}}\cdot\left( {1 +y’} \right) = 0\; \Rightarrow 2x + y’ + \frac{1}{{x + y}} + \frac{{y’}}{{x + y}} = 0,\;\; \Rightarrow \\y’\left( {1 + \frac{1}{{x + y}}} \right) = – \left( {2x + \frac{1}{{x + y}}} \right)\; \Rightarrow y’.\frac{{x + y + 1}}{{x + y}} = – \frac{{2{x^2} + 2xy + 1}}{{x + y}}\\
y’ = – \frac{{2{x^2} + 2xy + 1}}{{x + y + 1}}\\
[/math]
سایت بسیار زیبا و مفید است
سایت بسیار مفید برای مطالعه کننده گان