مثلثات بخش 2-1-درجه و رادیان
درجه : تا اینجا برای زاویا از واحد درجه استفاده کردیم ، اما می خواهیم بدانیم درجه چیست ؟ تعریف ساده آن می تواند بصورت زیر باشد .
اگر ما محیط یک دایره را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم اندازه زاویه مرکزی مقابل به هر کدام از این قسمت ها برابر یک درجه خواهد بود .
اکنون اگر به جدول بالا ذقت کنید می بینید که زاویه را برحسب دو واحد اندازه گیری شده است ، اولی برحسب درجه و دومی برحسب رادیان (البته واحد گراد هم هست )
من می خواهم در این مطلب در مورد همون دو واحد بحث کنیم . مفهوم رادیان و درجه در دایره چیست ؟
1-درجه :
هر زاویه مرکزی که کمان رو به رویش برابر 1 تقسیم بر 360 محیط دایره باشد را درجه می نامیم. دراقع 360 درجه یعنی یک دور کامل ب روی محیط دایره و 180 درجه یعنی یک نصف دور بر روی محیط دایره
در فیلم ، زاویه 90 درجه و 180 درجه و 360 درجه بطور انیمشین متحرک نمایش داده شده است که می توانید آن را مشاهده کنید .
پس با توجه به اینکه یک دور دایره کامل برابر 360 درجه و نیم دایره برابر180 درجه ربع دایره برابر 90 درجه است . اکنون به شکل زیر دقت کنید تا بهتر مفهوم درجه در دایره را بفهمید .
یک سوال تاریخی جالب :چرا یک دور کامل در دایره را 360 درجه حساب می کنیم ؟
جواب : سومری ها برای پیش بینی هاشون ابتدا از تماشای خورشید، ماه و پنج سیاره قابل رویت (عطارد، زهره، مریخ، مشتری، و زحل) استفاده میکردند.(آن زمان موقع زمین مرکز عالم شناخته میشد )
اونها قصد نداشتند حرکت فیزیکی خورشید، ماه و سیاره ها رو بررسی کنند .با این حال،متوجه مسیر دایره ای سالانه خورشید در آسمان شدند و میدونستند طی این مسیر یک ساله حدود 360 روز طول می کشد.در نتیجه این مسیر دایره ای رو به 360 درجه تقسیم کردند تا سفر هرروز خورشید رو توصیف کنند.این واقعه در حدود 2400 سال پیش اتفاق افتاده!!
2-رادیان:ما می توانیم واحد زاویه را برحسب رادیان هم محاسبه کنیم . هر رادیان تقریبا معادل 57.2958 درجه است .و اما تعریف رادیان
دایره ای به شعاع R در نظر بگیرید ، یک رادیان اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی به طول شعاع دایره R است.
در فیلم بالا می بینید که طول کمان روبرو به زاویه مرکزی دقیقا برابر شعاع دایره است .
به زبان ریاضی اندازه زاویه بالا بصورت زیر است که برابر یک رادیان است :
اندازه یک کمان در دایره= اندازه زاویه مرکزی
اما یادتون باشه که اندازه کمان و طول کمان با هم فرق دارند ، وقتی می گوییم اندازه کمان منظور ما همان زاویه مرکزی هست اما وقتی می گوییم طول کمان داستان فرق می کنه ، اینجا منظور ما این است که بدانیم یک کمان را اگر بطور صاف بزاریم طول آن چقدر می شود.
ما بطور کلی می دانیم که در یک دایره طول یک کمان , بخشی از محیط دایره است.اگر بخواهیم که طول کمان را با کمک اندازه کمان با درجه محاسبه کنیم.
[math] \theta = \frac{s}{r}[/math]
یعنی بطور کلی اندازه زاویه مرکزی برابر است با تقسیم طول کمان روبرو تقسیم بر شعاع دایره ، رادیان آن زاویه بدست می آید .حالا یک سوال پیش می آید و آن هم مثلا زاویه 180 درجه چند رادیان است .
شاید برای شما سوال مطرح شود مگر نگفتی اندازه یک کمان در دایره= اندازه زاویه مرکزی پس چطور در سطر بالا می گوییم زاویه مرکزی برابر تقسیم طول کمان بر شعاع است ، دوباره تاکید می کنم که بین اندازه کمان و طول کمان تفاوت هست .که باید بهش دقت کنید در تعریف بالا ما طول کمان را در نظر گرفتیم نه اندازه کمان.
یادآوری : اندازه یک کمان در دایره= اندازه زاویه مرکزی
طول کمان دایره :
پس هر گاه طول کمان روبروی زاویه مرکزی برابر شعاع دایره باشد .اندازه زاویه مرکزی یک رادیان است . فیلم بالا این مساله را بطور واضح نمایش می دهد .
چیزی که ما فهمیدیم اینکه رادیان ارتباط مستقیمی را طول کمان و شعاع دایره داره و هر گاه اندازه این دو معلوم باشن می توانیم از تقسیم طول کمان بر شعاع دایره اندازه زاویه را بر حسب رادیان بدست آورد .
می دانیم که محیط یک دایره برابر [math] 2\pi r [/math] که اینجا زاویه مرکزی ما از یک چرخش یا دوران کامل شعاع بدست می آید . فرمول زیر محیط دایره را نشان می دهد :
[math] s = 2\pi r[/math]
اگر ما دایره ای داشته باشیم به شعاع r و [math] \theta [/math] اندازه یک چرخش کامل به دور دایره یعنی 360 درجه باشد .در واقع ما دایره ای داریم که زاویه مرکزی آن 360 درجه و شعاع آن r است پس بر حسب رادیان طول کمان تقسیم بر شعاع میشه اندازه زاویه برحسب رادیان (اینجا اندازه 360 درجه را می خواهیم حساب کنیم) :
[math] \theta = \frac{s}{r} = \frac{{2\pi r}}{r} = 2\pi [/math]
پس 360 درجه برابر[math]2 \pi [/math]رادیان است [math] \pi [/math] خودش یک مقدار عددی تقریبی برابر 3.14 دارد
و همچنین [math] 2\pi = 6.28[/math] خوب نتیجه می گیریم :
در بالا اندازه یک رادیان R را بر حسب درجه حساب کردیم که عدد تقریبی 57.32.بدست آمد .
با توجه به شکل بالا ، هر نیم دور از دایره تقریبا برابر 3.14 رادیان است ، یعنی هر نیم دور از دایره برابر با [math] \pi [/math] رادیان است
به عبارت دیگر 180 درجه معادل با [math] \pi [/math] رادیان است.
درجه | رادیان دقیق | رادیان تقریبی | دایره |
30 | [math] \frac{\pi }{6}[/math] | 0.524 | |
45 | [math] \frac{\pi }{4}[/math] | 0.785 | |
60 | [math] \frac{\pi }{3}[/math] | 1.047 | |
90 | [math] \frac{\pi }{2}[/math] | 1.571 | |
180 | [math] \pi [/math] | 3.142 | |
360 | [math]2 \pi [/math] | 6.283 |
سلام خیلی خوب بود دلم می خوادانیمیشن هارو داشته باشم تا برای تدریس استفاده کنم
سلام دست مریزاد واقعا لذت بردم از مطالبتون .لطفا راهنماییم کنید چطور میتونم انیمیشنهای ریاضی تهیه کنم
برای تهیه انیمشین شما می توانید نرم افزار فلاش را یاد بگیرید
سلام. من یک دانش آموزی هستم که به دوم دبیرستان می رم. راستش معلمم که رادیان رو توضیح داد تقریبا اصلا نفهمیدم چون بار اولم بود. لطفاً اگه می شه شفاف تر توضیح بدید قدم به قدم. متشکرم.
با
سلام آیا فایل فلاش آموزشی را مشاهده کردید ؟ بصورت گام به گام به شما نمایش میدهد؟؟؟
با سلام دمتون گرم واقعا دیگه برای کم سواد ترین آدم هم اگه اینطور درس بدی فیثاغورث میشه ایکاش معلمهای دوران ما همینطور به ما درس یاد میدادند الان ما بعد از اینهمه گذر عمر بی مایه و ادعای پوشالی لااقل میتونستیم وقتی بچه هامون از ما سوال ریاضی میکنن جوابشونو درست بدیم نه اینکه عصبی بشیم و بگیم تو مغز نداری و… آرزوی سلامتی و تندرستی برای همه مردم ایران