مثلثات بخش 3-واحد دایره و مثلثات در دایره

دایره واحد دایره ای است با شعاع به طول 1

این یک راه حل بسیار ساده ای است برای فهم مفاهیم زاویه و مثلثات در دایره است .مرکز این دایره نقطه ای است که از تلاقی محور x  ها و محور y ها بدست می آید .

اکنون به دایره بالا دقت کنید . دایره ای با شعاع به طول 1 و روی آن مخالف گردش عقربه های ساعت را به عنوان سوی مثبت در نظر می گیریم .این دایره را دایره مثلثاتی می نامیم .

Sine, Cosine and Tangent

چون دایره ما با شعاع به طول واحد است پس می توانیم تابعهای مثلثاتی را بر روی این دایره نمایش دهیم . اگر فرض کنیم مطابق شکل روبرو زاویه θ ، زاویه ما در یک مثلث باشد .

دقت کنید که تابعهای مثلثاتی سینوس و کسینوس و تانژانت بر روی دایره فوق چگونه تغییر می کنند ؟

اگر فرض کنیم زاویه θ برابر صفر باشد  خواهیم داشت :

• cos=1, sin=0 and tang=0

اگر فرض کنیم زاویه θ برابر 90 درجه باشد خواهیم داشت :

• cos=0, sin=1 و تانژانت تعریف نشده

نتیجه ای که ما از دایره و شکل بالا می گیریم این است که در دایره مثلثاتی محور کسینوسها برابر مقدار روی محور x  ها و مقدار سینوسها برابر مقدار روی محور y  ها است .

فیثاغورس در مثلثات

نظریه فیثاغورس به ما می گوید که اگر مثلثی قائم الزاویه باشد ، توان 2 وتر مثلث برابر با مجموع مربعات دو ضلع زاویه قائمه است . اما چگونه می توان از این نظریه در مثلثات استفاده کنیم.

یکی از مهمترین مقادیر مربوط به تابعهای مثلثاتی که بسیار کاربرد دارد مقادیر آن در زاویه های 30 و 45 و 90 درجه است که شما باید حتما همیشه آن را به خاطر داشته باشید .دلیل این مساله این است که دانستن این مقادیر شما را در برآورد کردن دیگر مقادیر کمک فراوانی می کند . جدول زیر این مقادیر را نمایش می دهد .

اکنون سوالی که شاید برای خیلیها مطرح شود این است که ما چگونه می توانیم این مقادیر را حفظ کنیم در جواب من راه حلی را برای شما پیشنهاد می کنم . خوب شما حتما می دانید که اعداد 1 و 2و3 چی هستند پس ارتباط این اعداد را در رابطه زیر ببینید.

سوال مقادیر بالا از کجا آمدند ؟و چگونه محاسبه می شوند ؟

برای یافتن جواب ، یکبار دیگر مطالب بالا را به دقت مرور کنید . خوب به خاطر دارید که نظریه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه چه بود ؟ و همچنین گفتیم که کسینوسها برابر مقدار روی محور x  ها و سینوسها برابر مقدار روی محور y  ها است پس داریم :

و سرانجام کلیه مقادیر مکمل دیگر که برای تابعهای مثلثاتی وجود دارند بصورت خلاصه در دو شکل زیر آمده است و در شکل اول مقادیر را بر حسب درجه نمایش داده شده است و در شکل دوم مقادیر بر حسب رادیان نمایش داده شده است :

شکل 1 مقادیر بر حسب درجه :

شکل 2 مقادیر بر حسب رادیان :