لگاریتم بخش 3-قوانین و قضایای لگاریتم
ما در مطالب قبلی در مورد
توضیح دادیم .در این بخش می خواهیم در مورد قوانین لگاریتم صحبت کنیم . یکی از جالبترین و پرکاربردترین قوانین لگاریتم ، لگاریتم ضرب است .
[math]\log _a^{m \times n} = \log _a^m + \log _a^n[/math]
همانطور که در مطلب قبلی گفتیم ، توانها و لگاریتمها با هم در ارتباط هستند و در واقع می توان گفت که در بسیاری از خصوصیات شبیه هستند .در شکل زیر 4 خاصیت مهم لگاریتم را بررسی می کنیم .
لگاریتم ضرب تبدیل می شود به جمع لگاریتم ها |
[math]\log _a^{m \times n} = \log _a^m + \log _a^n[/math] |
لگاریتم تقسیم تبدیل می شود به تفریق لگاریتمها | [math]\log _a^{\frac{m}{n}} = \log _a^m – \log _a^n[/math] |
لگاریتم معکوس یک عدد | [math]\log _a^{\frac{1}{n}} = – \log _a^n[/math] |
توان لگاریتم یک عدد به ضرب لگاریتم تبدیل می شود | [math]\log _a^{{m^r}} = r\log _a^m[/math] |
اکنون چند مثال حل می کنیم تا کاربرد آنچه را گفتیم را در عمل مشاهده کنیم .
مثال 1:لگاریتم [math]\log _a^{({{({x^2} + 1)}^4}\sqrt x )} [/math]را حل کنید.
[math]\log _a^{({{({x^2} + 1)}^4}\sqrt x )} = \log _a^{{{({x^2} + 1)}^4}} + \log _a^{\sqrt x }[/math] | قانون ضرب لگاریتم |
[math]= 4\log _a^{({x^2} + 1)} + \log _a^{\sqrt x }[/math] | قانون توان لگاریتم |
[math]= 4\log _a^{({x^2} + 1)} + \log _a^ {x^{\frac{1}{2}}}[/math] | خواص رادیکالها
[math]\sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}[/math] |
[math] = 4\log _a^{({x^2} + 1)} + \frac{1}{2}\log _a^x[/math] | قانون توان لگاریتم |
پس جواب نهایی ما [math] = 4\log _a^{({x^2} + 1)} + \frac{1}{2}\log _a^x[/math]
مثال 2:لگاریتم [math]\log _a^5 + \log _a^x – \log _a^2 [/math]را حل کنید.
با استفاده از قانون ضرب لگاریتم :
[math]\log _a^5 + \log _a^x – \log _a^2 = \log _a^{5 \times x} – \log _a^2 = \log _a^{5x} – \log _a^2[/math]
سپس با استفاده از قانون تقسیم لگاریتم
[math]\log _a^{5x} – \log _a^2 = \log _a^{\frac{{5x}}{2}}[/math]
دو خاصیت مهم لگاریتم
1-لگاریتم عدد 1 در هر مبنایی برابر صفر است [math]\log _a^1 = 0[/math] چون [math]{a^0} = 1[/math]
2-لگاریتم هر عددی در مبنای خود آن عدد برابر 1 است [math]\log _a^a = 1[/math] چون [math]{a^1} = a[/math]
3-با توجه به اینکه [math]\log _{a.b}^{a.b} = 1[/math] است. می توانیم از آن نتیجه جالبی بگیریم :
[math]\log _{a.b}^{a.b} = 1 \to \log _{a.b}^a + \log _{a.b}^b = 1 \Rightarrow \log _{a.b}^a = 1 – \log _{a.b}^b[/math]
مثال 3:با استفاده از قاعده فوق می توان مقادیر لگاریتمی زیر را حساب کرد :
قانون تغییر مبنا در لگاریتم:
شاید این سوال برای شما مطرح بشود که چگونه می توان مبنای یک لگاریتم را عوض کرد ، در جواب برای اینکار به قانون زیر دقت کنید :
همانطور که می بینید ، برای تغییر مبنا کافیست ، لگاریتم را تبدیل به لگاریتم تقسیم کنیم که لگاریتم عدد مثلا x به بالا می رود و مبنا مثلا a به پایین یعنی در مخرج تقسیم قرار می گیرد .
حل چند تمرین
تمرین 1:اگر [math]\log _2^{12} = a[/math] باشد ، [math]{4^{a – 2}}[/math] را بدست آورید .
[math]\log _2^{12} = a \Rightarrow {2^a} = 12\\
{4^{a – 2}} = {({2^2})^{(a – 2)}} = {2^{2a – 4}} = \frac{{{{({2^a})}^2}}}{{16}} = \frac{{{{12}^2}}}{{{4^2}}} = {(\frac{{12}}{4})^2} = {3^2} = 9[/math]
تمرین 2: اگر [math]\log \frac{1}{2} + \log \frac{2}{3} + … + \log \frac{n}{{n + 1}} = – 2[/math] مقدار n را بدست آورید.
با استفاده از خاصست ضرب لگاریتم
[math]\log \frac{1}{2} + \log \frac{2}{3} + … + \log \frac{n}{{n + 1}} = \log (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times … \times \frac{n}{{n + 1}}) = – 2\\
\Rightarrow \log (\frac{1}{{n + 1}}) = – 2 \Rightarrow – \log (n + 1) = – 2\\
\Rightarrow \log (n + 1) = 2 \Rightarrow n + 1 = {10^2} = 100 \Rightarrow n = 99\\[/math]
تمرین 3: اگر a,b ریشه های معادله [math]{x^2} – 10x + 0.1 = 0[/math] باشند . حاصل [math]\log a + \log b – \log (a + b)[/math] کدام است ؟(سراسری 88)
1)-2
2)-1
3)صفر
4)1
می دانیم که در هر معادله درجه دوم [math]{x^2} + bx + c = 0[/math] حاصل جمع ریشه ها برابر [math] – \frac{b}{a}[/math] و حاصل ضرب ریشه ها برابر [math]\frac{c}{a}[/math] پس اگر a,b ریشه هلی معادله داده شده در مساله باشند داریم :
[math]S = a + b = – \frac{b}{a} = 10\\
P = ab = \frac{c}{a} = 0.1[/math]
در نتیجه :
[math]\log a + \log b – \log (a + b) = \log (ab) – \log (a + b)\\
= \log \frac{{ab}}{{a + b}} = \log \frac{{0.1}}{{10}} = \log \frac{1}{{100}} = – 2[/math]
خیلی ممنونم. خسته نباشید.
با عرض سلام و خسته نباشید یک سوال داشتم .درمباحث طراحی الگوریتم و ساختمان داده ها به چه دلیل مبنای الگوریتم را نمی نویسند
معمولا در بحث طراحی الگوریتمها و ساختمان داده ها و بطور کلی در بحث رایانه و برنامه نویسی ، لگاریتم را در مبنای 10 در نظر می گیرند و این مبنا در لگاریتم هر گاه نوشته نشود بصورت پیش فرض و یک قانون هست که اگر مبنای لگاریتم نوشته نشود یعنی مبنای آن 10 است.
اشتباه نکنید. در مباحث طراحی الگوریتم و ساختمان داده ها هر وقت مبنای لگاریتم را نمینویسند به صورت پیش فرض مبنای آن را ۲ قرار میدهیم. اما در مباحث ریاضی مبنای پیش فرض عدد 10 است.
سلام وقت بخیر من دنبال بخش اول بحث لگاریتم ها میگرد تو سایت از بخش دوم برام قابل دسترسی هست ممنون میشم کمک بفرمایید
http://math2easy.com/?p=463
سلام،خیلی مطلب مفیدی بود و کامل،اینطوری واضح و ساده کمتر جایی پیدا میشه آموزش بده اونم رایگان،خدا خیرتون بده،خدایی خیلی کار مفیدیه،کارم راه افتاد،اجرتون با بقیة الله
با سلام.
خدا قوت واقعا مطالب خوب بود. خیلی ممنون
واقعا ممنون خیلی کمکم کرد