مثلثات بخش 9 -کمانهای متمم و نسبتهای مثلثاتی

در مثلث قائم الزاویه زیر دو زاویه  b,c  متمم هستند ، یعنی مجموع هر دو زاویه برابر 90 درجه  است حال بر این اساس داریم :

پس می توان نتیجه گرفت که اگر دو زاویه متمم هم باشند کسینوس هر زاویه برابر متمم سینوس آن زاویه است .مثلا :

Sin 30= Cos 60

Sin 45 =Cos 45

Sin 60=Cos 30

اکنون با توجه به مطالبی که گفته شد مثال زیر را حل کنید :

مثال 1: درستی تساوی زیر را ثابت کنید :

پس در مثال بالا به سادگی فهمیدیم که چگونه دو زاویه متمم در مثلثات با هم ارتباط دارند و چه نسبتی با هم دارند . اکنون سوالی مطرح می شود که نسبتهای مثلثاتی به ازای زاویه با درجه منفی چگونه محاسبه می شوند . یعنی سینوس یک زاویه منفی و یا کسینوس یک زاویه منفی چیست ؟

داریم که :

پس اگر بخواهیم تمام حالتهای نسبتهای مثلثاتی را بصورت خلاصه در یکجا جمع می کنیم ، جدول زیر را خواهیم داشت که نشان می دهد زاویه ما اگر منفی باشد و یا به هر مقدار معنادار دیگر در دایره اضافه شود نسبتهای مثلثاتی چگونه خواهند بود .

ستون اول جدول بالا نشان دهنده مقدار زاویه است و ستونهای دیگر نشان دهنده مقدار حاصل برای آن زاویه است مثلا در ستون اول و ردیف دوم ما زاویه منفی آلفا داریم ، روبروی آن زاویه منفی سینوس آلفا است یعنی اگر زاویه ما منفی باشد ، حاصل سینوس یک زاویه منفی هم برابر با منفی سینوس آن زاویه است در حالی که برای کسینوس برابر با مثبت است .

و در پایان جمع بندی فرمولها و نسبتهای مثلثاتی را ذکر می کنیم :

نمونه سؤالهای امتحانی با جواب