رسم نمودار معادله
رسم نمودار معادله درجه دوم
در بخش های قبلی در مورد رسم معادله یک خط توضیح دادیم ، در این بخش می خواهیم با نمودار معادله های درجه دوم آشنا شویم .
ما ابتدا گام به گام روش رسم معادله درجه 2 را بررسی می کنیم ، ابتدا سعی می کنیم با استفاده از روش نقطه یابی نمودار معادله درجه 2 را رسم کنیم.برای این کار با یک مثال مساله را توضیح می دهیم
مثال 1)نمودار معادله درجه دوم [math] y = {x^2} – 2x [/math] را رسم کنید.
برای رسم نمودار این معادله به [math]x[/math] مقادیر دلخواه [math]0,1,2,3,-1[/math] می دهیم و به ازای این مقادیر [math]x[/math] مقدار [math]y[/math] را حساب می کنیم.سپس هر نقطه [math](x,y)[/math] را روی محور مختصات مشخص می کنیم و در نهایت با وصل کردن این نقاط به هم نمودار معادله را رسم می کنیم در جدول زیر مقادیر x و به ازای آنها معادل y را حساب کرده ایم :
نام نقطه | [math](x,y)[/math] | [math] y = {x^2} – 2x [/math] | [math]x[/math] |
A | (0,0) | y=0-0=0 | 0 |
B | (1,-1) | y=1-2=-1 | 1 |
C | (2,0) | y=4-4=0 | 2 |
D | (3,3) | y=9-6=3 | 3 |
E | (1,3-) | y=1+2=3 | -1 |
این نقاط روی محور بصورت زیر نمایش داده می شوند :
اگر دقت کرده باشید
1-نمودار ما از نقطه (0,0) یعنی مبدا مختصات می گذرد
2-تقاطع نمودار با محورهای مختصات
الف)دیدیم که اگر [math]y=0[/math] در واقع (x,0) یعنی نقطه ای روی محور x هاست . همچنین اگر [math]y=0[/math] قرار دهیم نقطه تقاطع نمودار با محور x ها بدست می آید که در این نمودار:
[math]y = 0 \Rightarrow {x^2} – 2x = 0 \Rightarrow x(x – 2) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = \end{array} \right\}\\[/math]
یعنی (0,0) و (2,0) در واقع (2,0) نقطه تقاطع نمودار با محور x ها است.
ب)اگر x=0 یعنی نقطه (0,y) آنگاه مختصات نقطه ای بدست می آید که نقطه تقاطع نمودار با محور y ها است در این مثال :
[math]\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} – 2x\\x = 0\end{array} \right\} = y = 0\\[/math]
در این مثال به ازای x=0 داریم y=0 و در واقع از مبدا مختصات می گذرد و محور y ها را قطع نمی کند.
حالا اگر نقاط بدست آمده را به هم وصل کنیم یک سهمی بدست می آید
3-دهانه سهمی رو به بالا است (در بخش بعدی مفصل توضیح خواهیم داد)
4-نقطه [math] \left( {1, – 1} \right) [/math] مینیمم سهمی است .
مثال 2:نمودار معادله درجه دوم [math] y = – {x^2} – 2x + 8[/math] را رسم کنید.
برای رسم نمودار این معادله به [math]x[/math] مقادیر دلخواه [math]0,1,2,3,-1[/math] می دهیم و به ازای این مقادیر [math]x[/math] مقدار [math]y[/math] را حساب می کنیم.سپس هر نقطه [math](x,y)[/math] را روی محور مختصات مشخص می کنیم و در نهایت با وصل کردن این نقاط به هم نمودار معادله را رسم می کنیم در جدول زیر مقادیر x و به ازای آنها معادل y را حساب کرده ایم :
نام نقطه | [math](x,y)[/math] | [math] y = = – {x^2} – 2x + 8 [/math] | [math]x[/math] |
A | (0,8) | y=0-0+8=8 | 0 |
B | (1,5) | y=-1-2+8=5 | 1 |
C | (2,0) | y=-4-4+8=0 | 2 |
D | (-3,7) | y=-9-6+8=-7 | 3 |
E | (1,9-) | y=-1+2+8=9 | -1 |
این نقاط روی محور بصورت زیر نمایش داده می شوند
اگر دقت کرده باشید
1-نمودار ما از نقطه (0,0) یعنی مبدا مختصات نمی گذرد
2-تقاطع نمودار با محورهای مختصات
الف)دیدیم که اگر [math]y=0[/math] در واقع (x,0) یعنی نقطه ای روی محور x هاست . همچنین اگر [math]y=0[/math] قرار دهیم نقطه تقاطع نمودار با محور x ها بدست می آید که در این نمودار:
[math]\left\{ \begin{array}{l} y = – {x^2} – 2x + 8 = – ({x^2} + 2x – 8) = (x + 4)(x – 2) \\ y = 0 \\ \end{array} \right\} \to \\ \\(x + 4)(x – 2) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x + 4 = 0 \to x = – 4 \\x – 2 = 0 \to x = 2 \\\end{array} \right\} \\[/math]
پس نقطه تقاطع با محور x ها
[math] (2,0),( – 4,0) [/math]
ب)اگر x=0 یعنی نقطه (0,y) آنگاه مختصات نقطه ای بدست می آید که نقطه تقاطع نمودار با محور y ها است در این مثال :
[math]\left\{ \begin{array}{l} y = – {x^2} – 2x + 8 \\ x = 0 \\ \end{array} \right\} \to y = 0 – 0 + 8 = 8 \\[/math]
نقطه (0,8) محل تقاطع نمودار با محور y ها است.
3-دهانه سهمی به طرف پایین است
4-نقطه [math] \left( { – 1,9} \right)[/math] ماکزیمم سهمی است
این نوشته در واقع مقدمه ای بود برای ورود به مبحث سهمی است در نوشته بعدی در مورد سهمی و نمودار معادله درجه دوم به تفصیل توضیح خواهیم داد