توانهای کسری-توان های گویا
این مطلب در پاسخ به سوال یکی از کاربران سایت نوشته شده است .
نام دیگر توانهای کسری ریشه n ام یا رادیکال اعداد می باشد . اکنون قبل از اینکه وارد مبحث توانهای کسری شویم نگاهی کوتاه داریم به مفهوم توان .
در مثال بالا ما فهمیدیم که توان در صورتی که عدد صحیح باشد یعنی اینکه آن عدد را به تعداد توان در خودش ضرب کنیم . این حالت برای زمانی استفاده می شود که توان ما صحیح باشد ، اکنون این سوال مطرح می شود اگر توان ما عدد کسری باشد ، چگونه می توان آن را محاسبه کرد .
توان کسری
توانهای کسری در صورتی که مخرج کسر یک باشد نشان دهنده ریشه آن عدد هستند به طور کلی ما دو نوع توان کسری داریم .
1-توان کسری که صورت آن عدد یک است یه عبارتی دیگر توان آن [math] \frac{1}{n} [/math] باشد، که این توان نشان دهنده ریشه آن عدد است مانند زیر :
[math] {x^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{x} [/math] | هر عدد به توان [math] \frac{1}{n} [/math] یعنی ریشه n ام آن عدد |
مثال : [math]{27^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{27}} = \sqrt[3]{{{3^3}}} = 3 [/math] |
نکته مهم : اگر [math]n[/math] عدد فرد باشد ، رابطه [math] {x^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{x} [/math] همواره برقرار است و دارای جواب عدد حقیقی است ، اما اگر [math]n[/math] زوج باشد باید حتما [math] x \ge 0 [/math] باشد تا رابطه [math] {x^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{x} [/math] برقرار شود .
مثال : [math] {( – 9)^{\frac{1}{2}}} [/math] تعریف نشده است زیرا [math]{( – 9)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt { – 9} [/math] و می دانیم که ریشه زوج عدد منفی تعریف نشده است .
2-حالت دوم زمانی است که توان کسری ما صورت آن عدد یک نباشد مثل عدد [math] \frac{3}{4} [/math] باشد چگونه باید رفتار کرد :
در صورتی که توان ما بصورت [math] \frac{m}{n} [/math] باشد یعنی [math] {x^{\frac{m}{n}}} [/math] باشد در اینجا دقت کنید ، خیلی مهمه که بدانید اول باید ریشه n ام عدد را حساب کنیم و بعد حاصل را به توان m برسانیم یعنی بصورت مراحل زیر عمل می کنیم :
[math] {x^{\frac{m}{n}}} = {({x^{\frac{1}{n}}})^m} = {(\sqrt[n]{x})^m} [/math]
سوال : چرا باید اول ریشه n ام را حساب کنیم بعد حاصل را به توان m برسانیم ؟
در نظر داشته باشید که چون ممکن است ریشه n تعریف نشده باشد ، برای همین ابتدا باید از قابل تعریف شدن ریشه n ام اطمینان حاصل کنیم و دو حالت داریم :
1-اگر [math] x \ge 0 [/math] در این حالت n چه زوج و چه فرد باشد [math] {x^{\frac{m}{n}}} [/math] دارای جواب است و کلا در این حالت فرقی نمی کنه که چگونه حساب کنیم
درحالت بالا ممکن است ابتدا ما عدد را به توان m برسانیم و سپس نتیجه را ريشه n ام محاسبه کنیم و یا ممکن است حالت دوم همانطور که در بالا می بینید ابتدا ریشه n ام عدد را محاسبه می کنیم و سپس نتیجه را به توان m می رسانیم .در هر دو حالت نتیجه نهایی یکسان است .
2-اما در حالتی که [math]x<0[/math] در این حالت باید ببینیم که آیا ریشه آن تعریف شده است ، در واقع در این حالت اگر n زوج باشد ،ریشه تعریف نشده است اما اگر فرد باشد تعریف شده هست.
مثال :
[math] {( – 9)^{\frac{3}{4}}} = {( – {9^{\frac{1}{4}}})^3} = {(\sqrt[4]{{ – 9}})^3} [/math]
رابطه بالا برقرار نیست و تعریف نشده است زیرا ریشه چهارم عدد منفی 9 تعریف نشده است . پس برای همین ما اول باید ریشه را حساب کنیم بعد ببینیم آیا ریشه تعریف شده است سپس حاصل آن را به توان برسانیم
3-اگر ریشه فرد باشد یعنی n عدد فردی باشد در این حالت در این حالت فرقی نمی کند که ما با چه ترتیبی حساب کنیم ، چون عددهای منفی دارای ریشه هستند .
مثال :
[math]{( – 8)^{\frac{2}{3}}} = {( – {8^{\frac{1}{3}}})^2} = {(\sqrt[3]{{ – 8}})^2} = {( – 2)^2} = 4 \\[/math]
نتیجه گیری بحث آن است که در مواجه با [math]{x^{\frac{m}{n}}} [/math] ابتدا ریشه n ام را حساب کنید و در صورت تعریف شدن [math]{x^{\frac{1}{n}}} [/math] ریشه n ام را حساب می کنیم و سپس حاصل را به توان m برسانید .
و سرانجام در پایان این نکته مهم را ذکر می کنم که در صورتی که توان ما یک عدد اعشاری باشد ، ابتدا باید آن عدد اعشاری را به کسر تبدیل کنیم و سپس عددی خواهیم داشت که توان آن کسری است و مطابق روش بالا عمل می کنیم.
خیلی ممنون.
سلام خدمنت استاد عزيز . سوالي داشتم در مورد توان هاي كسري ممنون ميشم اگه زود پاسخ دهيد .در توان هاي كسري اگر پايه منفي باشد وصورت كسر فرد باشد ومخرج كسر زوج باشد ايا اين توان تعريف شده است يا خير ممنون
خیر تعریف نشده است .
مثلا (-a) به توان 3 تقسیم بر 4 برابر می شود با
منفی a به توان 3 به فرجه رادیکال 4 و این امکان پذیر نیست
هر كجا فرجه راديكال زوج است بايد عبارت زير راديكال نامنفي باشد
درباره ی مثال های تابع چپ و راست دهید نمونه سوال
سلام استاد خيلي ممنون از پاسختون . سوال ديگري داشتم چرا عدد aبه توان يك nام برابر با راديكال aبا فرجه n واينكه چرا فرجه جزو اعداد طبيعي است چرا اعدادي ديگر نمي توان قرار داد
با سلام مجدد
در ریاضیات یک سری قوانینی هست که اثبات آنها مفصل است ، در واقع این یک قانون است که توانهای کسری تبدیل به رادیکال می شوند .
توان منفی برای رادیکالها تعریف شده نیست ، یعنی ممکن نیست شما ریشه منفی 2 عددی را بدست آورید
مثال ، ریشه دوم عدد 9 برابر است با عدد 3 یعنی عدد 3 به توان 2 می شود 9
اما ریشه منفی 2 عدد 9 وجود ندارد ، چون هیچ عددی وجود ندارد که به توان منفی 2 بشود 9
من یه دانشجوام ولی بااین حال خیلی عالی بود.فکر میکنم خیلی بدرد پشت کنکوری ها بخوره.مرسی
با سلام
سوال من اینه که فرجه رادیکال بجز اعداد منفی و صفر و یک چه چیز های دیگری نمی تواند باشد؟لطفا سریع پاسخ دهید
فرجه فقط می تواند عدد صحیح باشد و بس
یعنی واقعا نمیشه؟
میشه بگید چرا؟
متوجه سوال شما نشدم
میشه توضیح دهید منظورتون چیه در کدوم مورد سوال می پرسید
با تشکر
سلام استاد سوالي داشتم در قدر مطلق. اينكه قدر مطلق يك عددي كوچكتر مساوي صفر باشد همواره تعريف نشده است يا ميتوانيم بگوييم ان عدد هم بايد صفر باشد تا قابل قبول باشد ممنون
قدر مطلق یک عدد حقیقی برابر است با فاصله آن عدد حقیقی تا صفر. یعنی مقدار عددی آن بدون در نظر گرفتن علامتش است. پس قدر مطلق یک عدد همواره نامنفی است یعنی یا مثبت است یا صفر کلا قدر مطلق نمی تواند کوچکتر از صفر باشد
سلام استاد پس باتوجه به گفته شما قدر مطلق هرعدد حقيقي مانندxكوچكتر يا مساوي صفر باشد ميتوان نتيجه گرفت كه عدد حقيقي يا همون xبرابر است با صفر
بله
سلام مجدد به استاد عزيز اگر ميشود اثبات براكت 2xكه برابر با براكت xبه علاوه ي براكت xبه علاوه يك دوم ميشود را بدون جايگذاري توضيح دهيد ممنون
من نفهمیدم براکت 2x یعنی چی آیا منظور شما جز صحیح است ؟
سلام استاد.
بله همون جزء صحيح 2x
پاسخ شما را امروز بصورت یک نوشته جدید منتشر کردم در لینک زیر
http://math2easy.com/?p=889
با سلام استاد عزیز من مدتها است که در مورد اثبات رابطهی زیر تحقیق می کنم اما جوابی بدست نمی آورم لطفا لطفا … شما زحمت اثباتش را بکشید من هر چقدر قوانین کتاب درسی را این ور آنور کردم جواب نگرفتم چون قوانین فقط برای توان های طبیعی یا حداکثر صحیح تعریف شده اند اما توان کسری یا گویا مشکل تر از این حرف ها است . بعلاوه من سال آخر دبیرستان را هم تموم کردم و هیچ کدام از معلم های من این اثبات را نمی دونستند . لطفا نگید اثباتش طولانی است من باید بدونم .
█(a)^(n⁄m)=〖(a^n)〗^(1⁄m)=(a^(1/m) )^n (a∈R ,n,m∈N,a^(1⁄m)∈R)
با سلام آیا منظور شما از 〖(a^n)〗 عبارت داخل جز صحیح است یا خیر
در مورد این مساله چند روزی به من فرصت دهید
اگر توانستم جواب را برای شما تقدیم می کنم
با تشکر فراوان از شما
جوابي به ایمیل شما فرستاده خواهد شد
با سلام مجدد و تشکر فراوان باز لطف شما استاد گرامی
منظور من جز صحیح نیست لطفا فقط عبارات داخل پرانتز رو بخونید
با سلام جواب شما به ایمیلتون فرستاده شد لطفا چک کنید البته جواب سوال شما در همان نوشته هست
دیگر نیازی به اثبات دیگری نیست
با سلام مجدد و تشکر از زحمتی که کشیدید ای کاش تمام اساتید مثل شما شاگرد را مورد لطف قرار میدادند ایمیلی را فرستادم مفتخر خواهم شد جوابش را دریافت کنم .
خیلی کمکم کرد ممنون
با سلام
استاد من دانشجوی رشته مهندسی مواد هستم ومیخواهم برای کارشناسی ارشد کنکور بدهم و در بیشتر تست ها به اعدادی مثل 0/002 به توان 1/5 ومشابه این ها میرسم ولی نمی دانم در آن زمان کم چطوری این ها راحل کنم،میخواستم بدونم آیا راهکاریا فرمولی برای دست یابی سریع به جواب هست یا نه؟باتشکر
با سلام و درود
مسلما توانهای اعشاری را باید به کسر تبدیل کرد اما اینکه روش بهتری وجود دارد یا نه باید در این زمینه تحقیق کنم و به شما پاسخ خواهم داد
اما روشی که فعلا به ذهنم میرسیه تبدیل اعشاریها به کسر است چه در مورد صورت و چه در مورد توان ،در اینحالت محاسبات ساده تر می شود
سلام
چجور میشه ی عدد اعشاری مثل 0.7ب توان 1/3_رسوند؟؟
سلام
چجور میشه ی عدد اعشاری مثل 0.7ب توان ی عدد کسری مثل 1/3_رسوند؟؟
0.7 برابر است با هفت تقسیم بر 10 است
توان یک سوم هم یعنی ریشه سوم یا رادیکال به فرجه سه
میشه روش حل ریشه 10عدد 2 بتوان 35 را بگویید؟؟؟؟؟
خیلی ممنون میشم سریع تر جوابم رو بدید.
جواب شما به ایمیلتون ارسال شد
aliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii bood
سلام
من می خوام جواب 1/5 را به توان 1/4 بدون ماشین حساب بدست آورم. 1/4^1/5 =
تشکر
با سلام
آیا منظورتون 1/4 عدد یک چهارم یا منظورتون یک و چهار دهم ؟؟؟من فرض می کنم منظور شما یک پنجم به توان یک چهارم است خوب
یعنی ریشه چهارم عدد 1 تقسیم بر ریشه چهارم عدد پنج در مخرج
سلام مجدد
خواهشا روش محاسبه عدد کسری به توان کسری و عدد صحیح به توان کسری را با مثال توضیح دهید باتشکر
(1/4)^1/5
سلام
حل اعداد کسری به توان کسری و اعداد صحیح به توان کسری بدون ماشین حساب ؟
1/3^9 ؟
1/6^1/3
ممنون از راهنمایی دوستان عزیز …. خیلی وقت بود مغزم درگیر این سوال توان کسری بود
عالی