تمرینات حد چپ و راست و نمودارها
این بخش می خواهیم روی نمودارهای حد کار کنیم و ببینیم اگر نموداری به ما داده شده باشد چگونه می توان حد را از روی نمودار حساب کرد .
ما گفتیم که حد تابع در یک نقطه به مقدار تابع در آن نقطه صلا بستگی ندارد .بلکه فقط و فقط به رفتار تابع در اطراف آن نقطه بستگی دارد .
در هر سه حالت بالا وقتی متغیر x به عدد c نزدیک می شود ،مقدار تابع به عدد N نزدیک می شود در نتیجه هر کدام از توابع در [math] x \to c [/math] حد دارند و حد آنها برابر N است اما:
در حالت a هم حد در نقطه c تعریف شده و هم خود تابع در نقطه c تعریف شده است یعنی :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = f(c) = N [/math]
در حالت b تابع در نقطه c حد دارد اما در این نقطه تعریف نشده است اگر به نمودار دقت کنید هم از سمت چپ وقتی به c نزدیک می شویم و هم اگر از سمت راست به نقطه c نزدیک شویم نمودار تابع به عدد Nنزدیک می شود یعنی حد چپ و راست برابر هستند اما در خود نقطه c تابع تعریف نشده است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = N,f(c) \ne N [/math]
در این حالت [math]f(c)[/math] به صورت یک نقطه توپر سیاه رنگ نشان داده شده است اما برابر با همان مقدار حد یعنی N نیست .
اینجا می توانیم بگوییم که حد یک تابع در یک نقطه به مقادیر آن تابع در آن نقطه بستگی ندارد .ما اینجا تابع در نقطه c تعریف شده بود اما مقدارش با مقدار حد در این نقطه برابر نبود .
سرانجام در حالت c در این حالت می بینیم که تابع اصلا در نقطه c تعریف نشده اما اگر به نمودار دقت کنیم می بینیم که در نقطه c تابع حد دارد یعنی [math]f(c)[/math] تعریف نشده است اما در این نقطه حد داریم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = N [/math]
دو حالت c ,b بالا دیدیم که داشتن حد در یک نقطه به تعریف شدن یا نشدن تابع در آن نقطه بستگی ندارد .در واقع حد تابع فقط به رفتار تابع در اطراف نقطه بستگی دارد.
نکته : در نمودارها مقدار تابع در نقاط به صورت دایره تو پر (سیاه رنگ) نشان داده می شود
در حالت a مقدار تابع در نقطه سیاه رنگ توپر [math] f(c) = N [/math]
در حالت b مقدار تابع در نقطه سیاه رنگ توپر [math] f(c) \ne N [/math]
مثال 1:در شکل زیر تابع را در نقطه صفر و 2 بررسی کنید آیا این تابع در این نقاط حد دارد ؟
ابتدا تابع را در نقطه صفر بررسی می کنیم یعنی [math]x=0[/math]
طبق نمودار وقتی مقدار [math]x=0[/math] نقطه توپر داریم که در [math]y=2[/math] نشان داده شده است یعنی مقدار تابع در نقطه صفر برابر 2 است پس :
[math]f(0)=2[/math]
اکنون حد چپ و راست تابع را در نقطه صفر بررسی می کنیم
حد راست
حد راست یعنی باید از سمت راست و از سمت نقاط بزرگتر از صفر ببینیم نمودار به چه عددی نزدیک می شود .همانطور که در شکل بالا می بینیم (فلش قرمز رنگ سمت راست) وقتی x از مقادیر بزرگتر از صفر به سمت صفر نزدیک می شویم تابع به نقطه [math]y=1[/math] نزدیک می شود.
حد چپ
حد چپ یعنی باید از سمت چپ و از سمت نقاط کوچکتر از صفر ببینیم نمودار به چه عددی نزدیک می شود .همانطور که در شکل بالا می بینیم (فلش قرمز رنگ سمت چپ) وقتی x از مقادیر کوچکتر از صفر به سمت صفر نزدیک می شویم تابع به نقطه [math]y=1[/math] نزدیک می شود.
پس حد چپ و راست این تابع در نقطه صفر برابر است لذا تابع در نقطه صفر دارای حد است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim}\limits_{x \to 0} f(x) = 1 [/math]
تابع ما در نقطه صفر دارای حد بود و حد آن برابر 1 بود اما در نقطه صفر مقدار تابع برابر 2 بود . یعنی مقدار تابع در نقطه با حد آن تابع در آن نقطه می تواند مساوی نباشد.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 1 \ne f(0) = 2 [/math]
اکنون می رسیم به نقطه [math]x=2[/math] اول ببینیم تابع در نقطه 2 چه مقداری دارد ، خوب همانطور که می بینید نمودار تابع در نقطه [math]x=2[/math] نقطه توپر ندارد و نقطه ای که تعریف شده داخلش خالیه و سفید یعنی تابع در نقطه [math]x=2[/math] تعریف نشده است .
اما حد چپ و راست
حد چپ و راست در نقطه 2 تعریف شده چون وقتی از سمت مقادیر بزرگتر از 2 و کوچکتر از 2 روی نمودار نگاه کنیم می بینیم که به سمت صفر یعنی [math]y=0[/math]نزدیک می شویم :
پس حد چپ وراست در نقطه [math]x=2[/math] مساوی است در نتیجه این تابع در این نقطه حد دارد
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 0 [/math]
پس در تابع بالا دیدیم که ممکن است تابع در نقطه ای تعریف نشده باشد اما می تواند در آن نقطه حد داشته باشد .
داشتن حد در نقطه ربطی به تعریف تابع در آن نقطه ندارد. فقط به رفتار تابع در اطراف آن نقطه ربط دارد.
چند مثال :
1-نمودار تابع زیر در نقطه [math]x=2[/math] تعریف نشده است همچنین در همسایگی راست این نقطه نیز تعریف نشده است اما در همسایگی چپ [math]x=2[/math] تعریف شده است .
2-نمودار تابعی رسم کنید که در همسایگی محذوف 2 تعریف شده باشد اما در این نقطه حد نداشته باشد.
وقتی می گوییم در همسایگی محذوف 2 تعریف شده یعنی در خود نقطه 2 تعریف نشده است .اما در نقاط اطراف 2 تعریف شده ، از طرفی دیگر چون گفته حد ندارد اما در نقاط اطراف 2 تعریف شده یعنی باید حد چپ و راست داشته باشد اما حد چپ و راست با هم برابر نیستند .
در نمودار بالا ،تابع در نقطه x=2 تعریف نشده است (دایره خالی ) حد چپ و راست تابع به صورت زیر است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 1 [/math]
چون حد چپ و راست برابر نیستند پس تابع حد ندارد.
3-نمودار تابعی را رسم کنید که در همسایگی 2 تعریف شده باشد ،و در این نقطه حد نداشته باشد.
چون اینجا گفته در همسایگی 2 تعریف شده و نگفته همسایگی محذوف یعنی همسایگی شامل خود نقطه 2 هم هست پس تابع باید در علاوه بر همسایگی 2 باید در خود 2 هم تعریف شده باشد .اما چون گفته حد ندارد یعنی حد چپ و راست باید نامساوی باشند .
در نمودار فوق [math]f(2)=2[/math] نقطه توپر سیاه رنگ در نمودار است . اما حد راست و چپ به صورت زیر و با هم برابر نیستند پس حد ندارد :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 1 [/math]
4- نمودار تابعی رسم کنید که در همسایگی 2 تعریف شده باشد و در این نقطه حد دارد اما حد آن با مقدار تابع در نقطه 2 برابر نباشد :
تابع در نقطه 2 تعریف شده است و همچنین حد راست و چپ باید برابر باشند اما
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \ne f(2) [/math]
در نمودار فوق دایره توپر سیاه رنگ یعنی [math]f(2)=1[/math] و حد چپ و راست تابع تابع در این نقطه :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 2[/math]
مثال 3:در نمودار داده شده زیر حدهای خواسته شده را در صورت وجود حساب کنید.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 4 [/math]
چون در نمودار فوق از چپ و راست وقتی x به سمت صفر نزدیک می شود نمودار روی محور y ها به سمت عدد 4 نزدیک می شود . (فلاشهای قرمز رنگ را ببینید)
اما در نقطه 2 تابع حد ندارد یعنی [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) [/math] تعریف نشده است چون (فلاشهای سبز رنگ را ببینید):
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = – 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = 2 [/math]
در نقطه [math]x=5[/math] حد ندارد یعنی [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f(x) [/math] تعریف نشده است چون حد چپ و راست در این نقطه متفاوت است (فلاشهای بنفش رنگ را ببینید)::
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} f(x) = 3 [/math]
حد راست نقطه 5 تعریف نشده در نمودار .(فلاش نارنجی رنگ)
حد تابع در نقطه [math]x=-2[/math] حد چپ این تابع تعریف نشده است اما حد راست داریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} f(x) = 1[/math]
و همچنین داریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} f(x) = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} f(x) = 1\\ [/math]
مثال 4:در نمودار داده شده زیر حدهای خواسته شده را در صورت وجود حساب کنید.
الف) تابع در نقطه 2 تعریف نشده است یعنی [math]f(2)[/math] تعریف نشده است.اما طبق نمودار در این نقطه حد دارد ،از چپ و راست به نقطه [math]x=2[/math] نزدیک شویم حد تابع به عدد 4 نزدیک می شود:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 4 [/math]
ب) تابع در نقطه [math]x=0[/math] طبق نمودار تعریف شده است از نقطه صفر می گذرد و برابر صفر می شود حد چپ و راست آن نیز برابر است
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0 [/math]
پ)بررسی تابع در نقطه [math]x=-1[/math]
در نقطه منفی یک حد چپ نداریم چون طبق نمودار به ازای مقادیر کوچکتر از منفی یک نموداری نداریم اما حد راست داریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f(x) = 1,f( – 1) = 1 [/math]
چون حد چپ و راست برابر نیست پس در نقطه منفی یک حد ندارد.
ت) در نقطه [math]x=-3[/math] تابع تعریف نشده است یعنی [math]f(-3)[/math] تعریف نشده است .طبق نمودار حد راست تعریف نشده اما حد چپ داریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} f(x) = 2[/math]
ث) حد [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} [f(x)] [/math]
ابتدا حد چپ و راست را جداگانه بررسی می کنیم
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} [f(x)] = – 1 [/math]
در همسایگی راست 4،مقدار تابع بین منفی یک و صفر است ،بنابر این جزء صحیح آن برابر منفی یک است.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} [f(x)] = 0 [/math]
در همسایگی چپ 4،مقدار تابع بین صفر و یک است پس جزء صحیح آن برابر صفر است.
با توجه به عدم تساوی حد چپ و راست پس حد ندارد.
در همسایگی منفی 4 مقدار تابع ثابت است و برابر 2 است. |
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – 4} [f(x)] = 2 [/math] |
در همسایگی صفر ،مقدار تابع بین دو عدد صفر و یک است پس جزء صحیح آن برابر صفر است. |
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f(x)] = 0 [/math] |
در همسایگی 2 ،مقدار تابع بین دو عدد 3 و 4 است که جزء صحیح آن برابر 3 است. |
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} [f(x)] = 3 [/math] |