الگوی خطی و غیر خطی

الگوی خطی اعداد ، یک دنباله ای از جملات است که اختلاف هر دو جمله متوالی آن برابر یک عدد ثابت است .مثلا الگوی اعداد زیر را ببینید :

در الگوی بالا تفاضل بین هر دو عدد متوالی برابر عدد 3 است.چنین الگوهایی را که در آنها اختلاف هر دو جمله متوالی عددی ثابت است ، الگوی خطی می نامیم.

اکنون میخواهیم یک قاعده کلی بر حسب شماره هر جمله براي الگوی بالا برای هر جمله پیدا کنیم ، تا بتوانیم براحتی با داشتن این قاعده کلی جمله n  ام الگوی بالا را نیز پیدا کنیم .

همانطور که می بینید جملات این الگوی هر کدام آنها در با ضرب عددی در 3 ارتباط دارند .

جدول بالا را ببینید ، هر جمله از حاصلضرب عدد 3 در شماره جمله به اضافه عدد 2 بدست می آید .

[math] {a_n} = 3n + 2 [/math]

جمله عمومی الگوی فوق را بدست آوردیم .حالا سوالی که اینجا مطرح میشه اینکه چرا به این الگو ، الگو خطی گفته شده ،می دانیم که اختلاف هر دو جمله متوالی آن عددی ثابت است ، اما در کنار آن اگر جمله بالا را بخواهیم بصورت معادله خط در نظر بگیریم و x و y در آن قرار دهیم یک معادله خط راست بدست می آید :

[math] {a_n} = 3n + 2 \to y = 3x + 2 \\ [/math]

من در بالا ، فرم جمله عمومی را با فرم معادله خط نوشتم .در واقع شباهت فراوانی بین این دو عبارت بالا وجود دارد ، حالا اگر نمودار معادله خط را بکشیم می بینیم که یک خط راست خواهد بود.

 

در شکل بالا براحتی می توانیم ببینیم که بین شماره جمله و عدد جمله روی نمودار بالا یک ارتباط خطی وجود دارد ، مثلا شماره جمله اول برابر عدد 1 و روی نمودار عدد 5 مقدار خود جمله است و سپس جمله دوم شمار آن 2 و روی نمودار خط مقدار ان برابر عدد 8 و به همین ترتیب می بینیم که همه انها رو یک خط راست قرار دارند .

پس با این توضیحاتی که داده شد می توان الگوی خطی را بصورت زیر جمع بندی کرد :

الگوی خطی :

-در یک الگوی خطی ، اختلاف بین هر دو جمله متوالی عدد ثابتی می باشد .

-جمله عمومی یک الگوی خطی به فرم [math] {t_n} = an + b[/math] می باشد .

-نقاط به مختصات [math] (n,{t_n})[/math] روی خطی به معادله [math] {t_n} = an + b[/math] قرار دارند .

-با توجه به فرم کلی که بصورت  [math] {t_n} = an + b[/math] می باشد ، اختلاف هر دو جمله متوالی برابر عدد [math]a[/math] است.

در الگوهای زیر همگی الگوهای خطی هستند :

الگوهای غیر خطی :

هر الگوی که خطی نباشد را الگوی غیر خطی می گوییم .یعنی

1-اختلاف دو جمله متوالی آن برابر عدد ثابت نیست.

2–جمله عمومی الگو به فرم [math] {t_n} = an + b[/math] نمی باشد .

مطلب را با یک مثال دنبال می کنیم ، شکل زیر را مشاهده کنید :

در شکل اول 5 نقطه داریم و در شکل دوم نقطه و در شکل سوم 21 نقطه داریم .

جدول بالا نشان دهنده نقاط در هر جمله هست، ما تا جمله سوم می دانیم که چندتا نقطه داریم اما بعد از جمله سوم به بعد برای ما هنوز مجهول است و باید یک رابطه منطقی ریاضی پیدا کنیم تا بتوانیم بقیه جملات را پیش بینی کنیم ، برای اینکار ما سعی می کنیم شکل دایره ها را تجزیه و تحلیل کنیم و مجموع آن را بصورت یک رابطه معنا دار بنویسیم :

در شکل یک ما به جای عدد 5 چهار + یک می نویسیم مانند شکل بالا .دقت کنید که ما اینجا چهارتا نقطه در اطراف شکل داریم و یک نقطه در مرکز شکل

در شکل دوم در اطراف شکل ، ما چهارتا (دو نقطه) داریم و در مرکز آن چهار نقطه با هم هستند یعنی 2 به توان 2 .

در شکل سوم در اطراف شکل ، چهارتا (سه نقطه ) داریم و در مرکز 9 تا نقطه داریم .یعنی 3 به توان 2

حالا می توانیم ان را بصورت شکل بالا در زیر هر شکل بنویسیم . خوب با توجه به توضیحات بالا و شکل بالا باید در شکل چهارم ما چهارتا (چهار نقطه) در اطراف داشته باشیم و در مرکز 4 به توان 2 باشد .

[math] {t_4} = {(4)^2} + 4(4) [/math]

اکنون با توجه به شکل بالا می توانیم نتیجه بگیریم که جمله عمومی ما بصورت زیر خواهد بود :

[math] {t_n} = {(n)^2} + 4(n) [/math]

یعنی برای بدست آوردن هر جمله باید شماره جمله را به توان 2 برسانیم و سپس شماره جمله را در عدد 4 ضرب کنیم .

حالا اگر اختلاف دو جمله متوالی الگو فوق را ببینیم

اختلاف جمله اول و جمله دوم :

[math] {t_2} – {t_1} = 12 – 5 = 7 [/math]

اختلاف جمله دوم و جمله سوم :

[math] {t_3} – {t_2} = 21 – 12 = 9 [/math]

خوب همانطور که می بینید یک بار اختلاف دو جمله متوالی عدد 7 شد و یکبار اختلاف دو جمله متوالی دیگر برابر عدد 9 شد ، و این دو نتیجه با هم برابر نیستند ، به عبارتی دیگر در این الگو اختلاف هر دو جمله متوالی برابر یک عدد یکسان و ثابت نیست ، پس این الگو یک الگوی غیر خطی است .

مثال1 :جمله عمومی دنباله [math]1,4,8,13,19,26,..[/math] را بدست اورید.

جواب این الگو دارای جمله عمومی زیر است :

[math]{t_n} = a{n^2} + bn + c \Rightarrow {t_n} = \frac{1}{2}{n^2} + \frac{3}{2}n – 1[/math]

مثال 2:جمله عمومی دنباله [math]-2,0,7,26,64,…[/math]  را بدست اورید.

جواب این الگو دارای جمله عمومی زیر است :

[math]{t_n} = \frac{7}{6}{n^3} – \frac{9}{2}{n^2} + \frac{{22}}{3}n – 6 \\[/math]

در دو مثال بالا می بینیم که یک الگو دارای جمله درجه 2 و الگوی دیگر دارای جمله عمومی درجه 3 است ، خوب چگونه این الگوهای را تشخیص دهیم ، از کجا بفهمیم که یک الگوی غیر خطی دارای جمله عمومی درجه 2 یا درجه 3 است ، آیا روش خاصی برای تشخیص الگوهای غیر خطی درجه 2 و درجه 3 وجود دارد ؟ جواب بله در لینک زیر آموزش کامل الگوهای غیر خطی درجه2 و درجه 3 را می توانید بخوانید.

الگوهای غیر خطی(درجه دوم و درجه سوم)

مطلب زیر را نیز حتما مطالعه کنید

1-برای الگوی زیر ، یک مدل ریاضی ارائه دهید و شکل دهم این الگو چند مربع دارد ؟

2-برای الگوی زیر ، یک مدل ریاضی ارائه دهید و شکل بیستم این الگو چند تکه چوب دارد ؟

3-برای الگوی زیر ، یک مدل ریاضی ارائه دهید و شکل یازدهم این الگو چنددایره دارد ؟

4-برای الگوی زیر ، یک مدل ریاضی ارائه دهید و شکل پانزدهم این الگو چند مربع دارد ؟

5-برای الگوی زیر ، یک مدل ریاضی ارائه دهید و شکل هشتم این الگو چند مکعب دارد ؟

6-با استفاده از الگوی زیر مشخص کنید که در کدام مرحله تعداد چوب کبریتها برابر 38 عدد می باشد ؟

7-در شکل زیر شکل دهم الگو چندنقطه دارد ؟

جواب تمرینات بالا در لینک زیر برای کاربران ویژه سایت می باشد ، می توانید با پرداخت حق عضویت از تمامی مطالب سایت بهره مند شوید

تمرینات حل شده الگوها -الگوهای خطی و غیر خطی با ذکر راه حل و نکات مهم